南方医科大学《线性代数》01-1、2、3.PPTVIP

线 性 代 数linear algebra 办公地点： 生命科学楼六楼长臂北侧数学教研室 联系方式： 电话：（020办） 邮箱：xiaoliehong@21 南方医科大学攻读硕士学位考试科目 数学一：含高等数学、线性代数、概率论与数理统计 数学二：含高等数学、线性代数 数学三：含微积分、线性代数、概率论与数理统计 线性代数（ linear algebra ） 第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第四章 向量组的线性相关性 第五章 相似矩阵及二次型 第六章 线性空间与线性变换 行列式 出现于线性方程组的求解 最早是一种速记的表达式 现已是数学中一种非常有用的工具 发明人: 德国数学家莱布尼茨 日本数学家关孝和 行列式 1750 年，瑞士数学家克拉默 《线性代数分析导引》 行列式的定义和展开法则，克拉默法则 稍后，法国数学家贝祖 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解 行列式 法国数学家范德蒙德 (Alexandre-Théophile Vandermonde, 1735.2.28-1796.1.1) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述 把行列式理论与线性方程组求解相分离 给出了用余子式来展开行列式的法则 行列式 1772 年，法国数学家拉普拉斯 证明了范德蒙德提出的一些规则 推广了范德蒙德展开行列式的方法 1815 年，法国数学家柯西 第一个系统的几乎是近代的处理 乘法定理, 方阵, 双足标记法 改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明 行列式 德国数学家雅可比 继柯西之后，在行列式理论方面最多产 引进了函数行列式(雅可比行列式) 指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式 雅可比的著名论文 《论行列式的形成和性质》 标志着行列式系统理论的建成 行列式 由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展。 整个 19 世纪都有行列式的新结果。 除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。 第一章 行列式 弄清排列和逆序的概念，会计算排列的逆序数 掌握n阶行列式的定义及其一般项的表示方法，会用定义计算行列式 熟悉行列式的性质，会用性质计算行列式 掌握行列式按行（列）展开的方法，会按行（列）展开计算行列式 掌握克莱姆法则，并能用它解线性方程组 熟悉齐次线性方程组有无非零解的判别方法 第一节 二阶与三阶行列式 一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式 三、小结 第二节 全排列及逆序数 一、概念的引入 二、全排列及其逆序数 三、小结 第三节 n阶行列式的定义* 一、概念的引入 二、n阶行列式的定义 三、小结 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 1 2 3 1 2 3 百位 3种放法 十位 1 2 3 1 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 种放法. 共有 问题 定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）. 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示. 由引例 同理 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中， 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 逆序数为3 1 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5. 计算排列逆序数的方法（逐一排查法） 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 排列的奇偶性 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数的 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 则每个元素的逆序数之和即为所求排列的逆 序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的