2-2分段插值2.pdf

第2章 插 值 法 第1节 引言 第2节 拉格朗日插值 第3节 均差与牛顿插值多项式 第4节 埃尔米特插值 第5节 分段低次插值 第6节 三次样条插值 1 郑勋烨 2.5 分段低次插值 2.5.1 高次插值的龙格振荡现象 根据区间 [a , b] 上给出的节点做出的插值多项式Ln ( x), n 在次数 增加时逼近f ( x) 的精度不一定也增加. 这是因为对任意的插值节点，当 时， 不 n   L ( x) n 一定收敛到f ( x) . 2 郑勋烨 考虑函数 f ( x) 1 /( 2 ，它在 上的各阶导数均 1  x ) [5,5] 存在. 以[5,5] 上的n 1个等距节点 (箕舌线函数!) k xk  5 10 , (k  0,1,, n) n x0  5 x1 x2 xk xn 5 所构造的拉格朗日插值多项式为 n 1  ( x) L ( x)   n 1 . n 1  x2  j 0 j ( x  x ) ( x ) j n 1 j 令 xn 1/ 2 1 (xn 1  xn ), 则 xn 1/ 2  5  5 , (取中节点!) 2 n 3 郑勋烨 表2-5列出了n  2,4,,20 时的Ln ( xn 1/ 2 ) 的计算结果及 在 xn1/ 2 上的误差R (xn 1/ 2 ). 表25 (误差迅猛增长!) n f (x ) L (x ) R(x ) n1/ 2 n n1/ 2 n1/ 2 2 0.137931 0.759615 0.621684 4 0.066390 0.356826 0.423216 6 0.05446