2-3 Hermite.ppt

第二章 代数插值与数值微分（三） 第二章 插值法 2.1 引言 2.2 拉格朗日插值 2.3 均差与牛顿插值公式 2.4 埃尔米特插值 2.5 分段低次插值 2.6 三次样条插值 2.4 埃尔米特插值 Hermite 插值 拉格朗日和牛顿均只保证函数插值； 实际问题有时需要导数也插值； 满足这种需要的插值称为埃尔米特插值 1. Hermite插值描述： 设 f (x)具有一阶连续导数，已知节点上的函数值和导数值，即 (xi, f (xi)), (xi, f ’(xi)), i = 0, 1, 2, …, n, 若存在 2n+1次多项式 H2n+1(x) 满足 则称 H2n+1(x) 为 f (x) 关于节点{xi} (i = 0,1,2,…,n)的Hermite插值多项式。 记 f (xi) = yi, f (xi) = mi, i = 0,1,2,…,n . 2. 三次Hermite插值的构造 存在性 给定 f (xi) = yi, f (xi) = mi, i = 0, 1. 设 代入插值条件: H3(xi) = f(xi), H3(xi) = f (xi), i =0,1,得 基函数法 每个节点上对应两套基函数：x0: h0(x), g0(x); x1: h1(x), g1(x),满足 或简记为 先构造 h0(x), 设 h0(x) = (a + bx)(x ? x1)2 ,为方便计算，可设 由h0(x0) = 1, 得 a =1；由 所以， 同理 设 由 g0(x0) =1, 得 a =1。所以 注：我们知道，过 x0, x1 两点的Lagrange插值基函数为 显然， 于是，三次Hermite插值的基函数可表为 3. 三次Hermite插值多项式 三次Hermite插值多项式为 容易验证，当 f(x)∈C4[a, b]时, 三次Hermite插值的误差为 提示：设 作辅助函数 固定x∈ [a, b]，则φ(t) 有三个零点 x0, x1, x, 且 x0, x1为二重零 点。反复应用Rolle定理可证。 例1 给定 f (? 1)=0, f (1)=4, f (? 1)=2, f (1)=0, 求H3(x), 并计算 f (0.5). 解 x0 = ? 1, x1 = 1, f(0.5)≈H3(0.5) = 3.5625. 解： 4. 高次Hermite插值的构造——插值基函数法 给定 n+1个节点 x0, x1,…,xn 上的函数值 f (xi)和导数值 f(xi) ，可以构造 2n+1 次Hermite插值多项式 满足 其中，hi(x), gi(x)分别为对应于函数值和导数值的不高于 2n+1 次插值基函数，它们满足 三次Hermite插值的基函数可表为 完全仿照三次Hermite插值基函数的求法，可得 容易验证， 完全仿照三次Hermite插值基函数的求法，可得 Hermite插值的误差(定理)： 当 f(x)∈C2n+2[a, b]时, 则存在ζ∈(a, b), 使 第二章 插值法 2.1 引言 2.2 拉格朗日插值 2.3 均差与牛顿插值公式 2.4 埃尔米特插值 2.5 分段低次插值 2.6 三次样条插值 n 次Lagrange插值多项式的误差： 插值多项式与被插函数的逼近程度同分点的数目和位置有关。一般地，分点越多，逼近程度越好，但也有例外。 2.5 分段低次插值 高次插值的病态性质 对于一个确定的区间，如果插值节点 之间的距离较小，自然插值节点就增多， 如果用一个多项式插值，自然次数就会升 高，也就是说要用高次多项式插值。 20世纪初，Runge就给出了一个等距 节点插值多项式 不收敛到 的例子。 分段线性插值 给定 n +1个插值点：(xi , f (xi)), i = 0,1,2,…,n, 在每个小区间[xi, xi+1]上作线性插值，