2.z变换与离散时间傅里叶变换.ppt

* 图2-19 序列及其傅里叶变换 * 总结： 对于连续信号，我们采用拉氏变换和傅氏变换进行频域分析，傅氏变换是虚轴上的拉氏变换，反映了信号的频谱。 对于离散信号（序列），相应的有z变换和序列傅氏变换，序列傅氏变换是单位圆上的z变换，反映的是序列的频谱（数字频谱）。 理想采样是一个有用的数学抽象，它沟通了连续信号拉氏变换、傅氏变换与采样后序列的z变换以及序列傅氏变换的关系，这些关系反映了频谱周期延拓及奈奎斯特采样定律等的基本概念。 * 表2-3 序列傅里叶变换的主要性质 * 表2-3 序列傅里叶变换的主要性质 * 2.9 傅里叶变换的一些对称性质 一、共轭对称序列 若序列xe(n)满足以下共轭对称关系 则称序列xe(n)为共轭对称序列。当xe(n)为实序列时，则xe(n)变成偶对称序列，即满足 实序列 （2-116） （2-115） 2. 共轭对称序列的实部是偶对称序列, 虚部是奇对称序列，即 1.定义： * 二、共轭反对称序列 若序列xo(n)满足以下共轭反对称关系 则称序列xo(n)为共轭反对称序列。当xo(n)为实序列时，则xo(n)变成奇对称序列，即满足 实序列 （2-120） （2-119） 2. 共轭反对称序列的实部是奇对称序列, 虚部是偶对称序列，即 1.定义： * 三、序列可表为共轭对称与共轭反对称序列之和 任一序列x(n)可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和（对于实序列，就是偶对称序列与奇对称序列之和），即 其中： （ xe(n)为共轭对称序列） （ xo(n)为共轭反对称序列） * 四、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量 与共轭反对称分量之和 一个序列x(n)的傅里叶变换 可分解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和： 其中： 共轭对称分量，满足 共轭反对称分量，满足 * 2.10 离散系统的系统函数，系统的频率响应 在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h(n)来表示，即 (2-143) 一、系统函数 取z变换 线性移不变系统的系统函数，单位冲激响应的z变换 * 1. 因果系统 二、因果稳定系统 单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统是因果系统， 因果系统的系统函数H(z)具有包括z=∞点的收敛域，即 线性移不变系统是因果系统的充要条件是: 即因果系统的收敛域是半径为 的圆的外部，且必须包括|z|=∞在内。 * z变换的收敛域由满足 的那些z值确定，因此稳定系统的系统函数H(z)必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1的系统是稳定的。 2. 稳定系统 线性移不变系统稳定的充要条件是单位 冲激响应h(n)绝对可和: * 因果稳定系统的系统函数H(z)必须在从单位圆到∞的整个z域内收敛，即收敛域必须包括 也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。 3. 因果稳定系统 * N阶常系数线性差分方程的一般形式为 三、系统函数和差分方程的关系 取z变换 （起始状态为零） (2-145) * 因式分解 式中z = cm是H(z)的零点，z = dk是H(z)的极点，它们都由差分方程的系数ak和bm决定。除了比例常数K=b0/a0以外，系统函数完全由它的全部零点、极点来确定。 (2-145) (2-146) * 注意： 1）同一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同，所以给出系统函数时必须同时给定系统的收敛域才行。 2）对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，在z平面以极点、零点图描述系统函数，通常都画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位圆外。 * 例 已知系统函数为 2|z|≤∞ 解： 系统函数H(z)有两个极点z1=0.5, z2=2。 从收敛域看，收敛域包括∞点，因此系统一定是因果系统。 但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。 由于2nu(n)项是发散的， 可见系统确实是不稳定的。 求系统的单位脉冲响应及系统性质。 由系统函数的z反变换可得 * 例 系统函数不变， 但收敛域不同。 解： 收敛域包括单位圆但不包括∞点，因此系统是稳定但非因果的。 由于存在2nu(-n-1)项， 因此系统是非因果的。 求系统的单位脉冲响应及系统性质。 由系统函数的z反变换可得 * 设线性移不变系统是稳定的，输入复指数序列： 则系统的输出为: 四、系统频率响应的意义 1. 频率响应的定义 特征函数 特征值 系统单位冲激响应序列的傅里叶变换，称为系统的频率响应 * 2. 线性移不变系统的频率响应H(ejω)是