4.函数 集合的基数.ppt

第五章 函数 函数的概念 函数的基本概念 例题 例题 函数相等 函数的计数 函数的计数 几种特殊的函数 满射函数 单射函数 双射函数 例题 复合函数 例题 定理 例题 逆函数 定理 例题 第6章 集合的基数 例题 基数的定义 可数集和不可数集 定理 集合论小结 小结 * * 第5章 函数 5.1 函数的概念 5.1.1 函数的基本概念 函数也称为映射,它反映了从一个集合到另一个 集合之间的一种对应关系. 定义 设X和Y是任意两个集合，f是从X到Y的关系，若对于每一个x∈X，都存在一个唯一的y∈Y，能使 x,y∈f ，则称关系f为X到Y的函数（映射）, 记作 f：X→Y. 函数是一个基本的数学概念,在通常的函数定义中,y=f(x)在实数集合上讨论.在这里,函数的概念得到了推广,函数被看成是一种特殊的关系. f：X→Y中,X称作f的定义域,Y称作f的值域(也称上域).x为函数的自变量,y称为对应于x的函数值(或称映像),记作y=f(x).有所有映像组成的集合称为函数的值域. 由函数的定义可知,函数是一种特殊的二元关系,主要在于: (1)函数的定义域是整个集合,而不是集合的某个真子集.即D(f)=X. (2)对于定义域中的每一个自变量有唯一的映像与它对应,即不能出现一个自变量对应多个映像,但允许多个自变量对应一个映像.即R(f)?Y. 例如,集合X={1,2,3},Y={6,7,8,9}, f={1,8,2,6,3,7},则f是从X到Y的函数. 又如,集合X={a,b,c},Y={r,g,b}, f={a,r,b,g,c,g},则f是从X到Y的函数. 例:判别下列关系中哪个能构成函数. (1)X={1,2,3,4},Y={4,5,6}, 当x∈X，y∈Y，且x＜y时,有x,y∈f. 解:f不是X到Y的函数. 如对于元素2∈X,有2,4∈f,2,5∈f,2,6∈f, 说明X中元素2与Y中的3个元素对应,所以f不是X到Y的函数. (2)设N时自然数的集合,f是N到N的二元关系,对于 x,y∈N,x+y＜100. 解:f不是X到Y的函数.因为x不能取定义域中的所有值,且x对应多个y,故关系f不能构成函数. (3) D(f)=X D(f)≠X 值不是唯一的 R(f)?Y 不是函数 不是函数 是函数 定义 设函数f:X?Y，g:T?W，若X=T，Y=W，且对所有x?X和x?T都有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等， 记作f=g。 函数的计数问题: 从函数的定义可知,X?Y的所有子集中，并不是全部子集都可以成为X到Y的函数,那么从X到Y有多少种不同的函数? 例：设X={a,b,c}，Y={0,1}，则 中,有 个子集, 但在64个子集中,只有2 3 个子集可定义为X到Y的函数 f0={a,0,b,0,c,0} f1={a,0,b,0,c,1} f2={a,0,b,1,c,0} f3={a,0,b,1,c,1} f4={a,1,b,0,c,0} f5={a,1,b,0,c,1} f6={a,1,b,1,c,0} f7={a,1,b,1,c,1} 讨论：从此例中可得到结论： 设X和Y都是有限集,且|X|=m，|Y|=n， 则函数f: X→Y中均是m个序偶的集合；另外,对于任何x∈X,可以有Y中的n个元素中的任何一个作为它的像,所以,共有n 个不同的函数. 用符号Y 表示从X到Y的所有函数集合. m X 5.1.2 几种特殊的函数 定义 设f:X?Y是函数，若R(f)=Y，即Y中的每一个 元素都是X中的一个或多个元素的映像,则称f:X?Y是满射函数. 设 f: X?Y是满射函数,即对于任意的y?Y,必存在 x?X使得f(x)=y成立. 例如: 满射函数一定有： (1)|X|≥|Y| (2) R(f)=Y f(a)=1, f(b)=2, f(c)=f(d)=3, 定义 设函数f:X?Y，如果对X中任意两个元素x1和x2,当x1?x2时,都有f(x1)?f(x2), 则称 f:X?Y是单(入)射函数（或一对一函数）. 例如: f(a)=1, f(b)=2, f(c)=3 入射函数有： (1)|X|≤|Y| (2) R(f)?Y 定义 设函数f:X?Y，如果f既是满射又是单射函数, 则称这个函数是双射函数. 例如,f(a)=1, f(b)=2, f(c)=3,则f既是满射又是单射函数,所以是双射函数. 双射函数有： (1)|X|=|Y| (2) R(f)=Y 例:判定下列函数是单射,满射还是双射函数. (