5-5_7 阿贝尔群和循环群.ppt

5-5 阿贝尔群和循环群 定义 5-5.1：如果群G,*中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群。 例题 1： 设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵的集合，矩阵乘法运算。作为定义在集合G上的二元运算，则G,。是一个不可交换群。 解： 任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个非奇矩阵，所以运算 ?是封闭的。 矩阵乘法运算是可结合的。n阶单位阵E是G中的幺元。任意一个非奇阵A存在着唯一的逆阵，使A ? A-1=A-1 ? A=E但矩阵乘法是不可交换的，因此，G, ? 是一个不可交换群。 定理5-5.1: 设G,*是一个群，G,*是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,b∈G,有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。 证明: 充分性 　　 设对任意a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)　　 因为 a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)　　　　　　　　　 =(a*b)*(a*b)　　　　　　　　　 =a*(b*a)*b　　 所以 a-1*(a*(a*b)*b)*b-1　　　　　 =a-1*(a*(b*a)*b)* b-1 　　 即得 a*b=b*a　　 因此，群G,*是阿贝尔群。 　　 必要性设G,*是阿贝尔群，则对任意的a,b∈G 有 a*b=b*a因此 (a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b　　　　　 =a*(b*a)*b　　　　　 =(a*b)*(a*b) 定义5-5.2： 设G,*为群，若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。 例如：60°就是群{0°，60°，120°，180°，240°，300°}，★的生成元，因此，该群是循环群。 定理5-5.2：任何一个循环群必定是阿贝尔群。 证明： 设G,*是一个循环群，它的生成元是a, 那么，对于任意的x,y∈G,必有r,s∈Z， 使得x=ar 和 y=as 而且 x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x 因此， G,*是一个阿贝尔群。 对于有限循环群，有下面的定理。 定理5-5.3： 设G,*是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G的阶数是n,即|G|=n,则an=e且G={a，a2，a3，…，an-1,an=e}，其中，e是G,*中的幺元，n是使an=e的最小正整数（称n为元素a的阶）。 证明： 假设对于某个正数m，mn，有am=e。那么，由于G,*是一个循环群，所以G中的任何元素都能写为ak(k∈Z)，而且k=mq+r其中，q是某个整数，0≤rm。这就有ak=amq+r=(am)q*ar=ar 这就导致G中每一个元素都可表示成ar(0≤rm)，这样，G中最多有m个不同的元素，与|G|=n相矛盾。所以am=e(mn)是不可能的。 进一步证明a，a2，a3，…，an-1,an都不相同。用反证法。假设ai = aj,其中1≤ij≤n,就有ai = ai * aj-i , 即aj-i =e,而且1≤j-in,这已经由上面证明是不可能的。所以， a，a2，a3，…，an-1,an都不相同，因此G={a，a2，a3，…，an-1,an =e} 例题 2： 设G={α，β，γ，δ}，在G上定义二元运算*如表5-5.2所示。 表5-5.2 解：由运算表5-5.2可知运算*是封闭的， α是幺元。β，γ和δ的逆元分别是β，δ和γ。 可以验证运算*是可结合的。 所以G,*是一个群。 在这个群中，由于 ?????2??, ?3??, ?4??, 以及 ?????2?? , ?2??, ?4?? 故群G,*是由γ或δ生成的，因此G,*是一个循环群。 从本例可以看到：一个循环群的生成元可以不是唯一的。 作业 5-5 P200 (1) (4) 5-7　陪集与拉格朗日定理 定义5-7.1：设G,*是一个群，A，B∈P(G)且A≠?，B≠?，记 AB={a*b|a∈A,b∈B} 和 A-1 ={a-1|a ∈A }， 分别称为A，B的积和A的逆。 定义5-7.2：设H,*是群G,*的一个子群a∈G，则集合