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固体物理基础 第三章 晶格振动 与 晶体的热学性质 孙金煜 § 3.1 一维单原子晶格的振动 一、弹性波 定义：振动在连续介质中的传播为弹性波。 弹性波在棒状样品的传播 (纵波)： 用u (x)表示x点处的弹性位移，应变 （每单位长度的长度改变） 应力：S 单位面积上所受的力。 一、弹性波 胡克定律：S = Ye 。其中，Y--杨氏模量； dx段运动方程： 一、弹性波 固体由分立的原子构成，这种不连续性 在晶格振动的讨论中必须考虑。当波长非常 长时，才可以不考虑原子的性质而把固体当 作连续介质，其间振动的传播为弹性波。 二、一维单原子链的振动 一维单原子链的振动 考虑由N个相同 的原子组成的一 维晶格，相邻原 子间的平衡距离 为a，第n个原子 偏离平衡位置的 位移用u 表示。 n 二、一维单原子链的振动 一维单原子链的振动 二、一维单原子链的振动 简谐近似下的运动方程 二、一维单原子链的振动 简谐近似下的运动方程 在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。 二、一维单原子链的振动 格波 对每一个原子，都有一个类似的运 动方程，方程数和原子数相等。 二、一维单原子链的振动 格波 二、一维单原子链的振动 色散关系 二、一维单原子链的振动 色散关系 二、一维单原子链的振动 第一布里渊区 二、一维单原子链的振动 第一布里渊区 二、一维单原子链的振动 第一布里渊区 二、一维单原子链的振动 周期性边界条件 玻恩—卡曼边界条件 二、一维单原子链的振动 周期性边界条件 即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布 里渊区内q值描述了晶格中所有振动模式，每个q对 应着一个波长的格波。 二、一维单原子链的振动 相速度和群速度 相速度：具有确定频率ω和波矢q的一 个纯格波的传播速度： 实际晶体中原子的一般振动状态为所有格波特 解的线性叠加，这些叠加而成的波动一般扩展为一 定范围的波包——波脉冲。 群速度：描写平均频率为和平均波矢为ω 的波脉冲的速度： § 3.2 一维双原子晶格的振动 一、运动方程 晶体有N个原胞，每个原胞有两种不同的 原子，相邻同种原子距离为2a，Mm 一、运动方程 只考虑最近邻原子间的相互作用及简谐效应： 2N个原子，2N个方程联立，原子间相 互关联运动，形成波。 二、色散关系 二、色散关系 ω与q之间存在两种不同的色散关系，即 一维双原子链存在两种独立的格波。 三、第一布里渊区 三、第一布里渊区 四、光学波和声学波 四、光学波和声学波 四、光学波和声学波 与一维单原子链的 情形相同。由完全