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第四节 一、幂级数及其收敛性 定理 1. ( Abel定理 ) 定理2(d’Alembert判别法) 设 定理3(Cauchy-Hadamard) 设 定理4(Abel第二定理) 设 收敛半径为R0，则 证明：(1) 任取(-R,R)的闭子区间[a,b],令 例1.求幂级数 例2. 求下列幂级数的收敛域 : 例3. 例4. 二、幂级数的性质与运算 说明: 定理6 . 若幂级数 例5. 例6. 求级数 例7. 内容小结 答: 不能. 备用题 1. 求极限 作业 * 一、幂级数及其收敛性 二、幂级数的运算 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M 0, 使 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束 当 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 时该幂级数发散 , 下面用反证法证之. 假设有一点 满足不等式 所以若当 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = ? 时, 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 可能收敛也可能发散 . 外发散; 在 (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 1) 若? ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当 原级数收敛; 当 原级数发散. 即 时, 1) 当? ≠0 时, 2) 当? ＝0 时, 3) 当? ＝∞时, 即 时, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 若 则根据比值审敛法可知, 绝对收敛 , 3) 若 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数发散 , 对任意 x 原级数 因此 因此 的收敛半径为 说明:据此定理 因此级数的收敛半径 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 1) 当? ≠0 时, 2) 当? ＝0 时, 3) 当? ＝∞时, 的收敛半径为 说明:据此定理 证明与定理2类似，利用根值审敛法可得。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在(-R,R)中内闭一致收敛。 在x=R处收敛， 则对任意a(-RaR), 在(a,R]中一致收敛。 在x=-R处收敛， 则对任意a(-RaR), 在[-R,a)中一致收敛。 即: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛 区间可包含此端点. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有0cR， 则对一切的 则由 收敛， 根据Weierstrass判别法知 在(-R,R)中内闭一致收敛。 收敛， 则对任意a(-RaR)和 即一致有界。 且 关于n单调， 由Abel判别法知 在(a,R]上一致收敛。 (3)同理可证。 对端点 x =－1, 的收敛半径及收敛域. 解: 对端点 x = 1, 级数为交错级数 收敛; 级数为 发散 . 故收敛域为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: (1) 所以收敛域为 (2) 所以级数仅在 x = 0 处收敛 . 规定: 0 ! = 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的收敛半径 . 解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 比值审敛法求收敛半径. 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 故直接由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的收敛域. 解: 令