第4章完全版.ppt

4.4 参量根轨迹的绘制 以上所述的根轨迹都是以开环增益K作为可变参量（ K 参数根轨迹） ，要研究其它可变参量（如时间常数、反馈系数、结构参数、开环零、极点等）对系统性能的影响，就需要绘制以其它参量为可变参数的根轨迹，这种根轨迹称为参量根轨迹或广义根轨迹。 例4-6 单位负反馈控制系统的开环传递函数为： 例4-7 单位负反馈控制系统如图所示，试绘制以K和a为参变量的根轨迹簇。 4.5.2 利用闭环主导极点近似分析系统的性能 这时的等效开环传递函数为： 则a参量根轨迹如图所示。 该根轨迹的起点在 K=4的根轨迹上，即： 终点在原点及无穷远处。 当K取不同值时，a变化时的根轨迹为 根轨迹簇： 同样，依据系统的闭环特征方程，也可作出a取不同的固定值，K从0到∞变化时的根轨迹簇。 ······ 定性分析系统某一参数变化时的稳定性及动态性能的变化趋势。 也可根据性能要求确定系统的参数，估算系统性能。 分析附加开环零、极点对根轨迹及系统性能的影响，在给定该参数值时确定相应的闭环极点、零点，得到相应闭环传递函数。 4.5.1 利用根轨迹分析系统的稳定性 4.5 用根轨迹法分析控制系统性能 临界 稳定 等幅 振荡 （不稳定） 条件稳定 K0的任何闭环极点，系统都稳定 振荡收敛欠阻尼 单调收敛过阻尼 不稳定 K0, a2 K0, 0a2 例4-9 单位负反馈控制系统的开环传递函数为： 试用根轨迹法确定欠阻尼系统稳定的开环增益（ ）范围，并计算阻尼系数 时的 值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。 解：系统的根轨迹如图所示。 稳定范围：0K6； 过阻尼：0K0.385，ts=(3~4)τ； 欠阻尼：0.385K6，令ζ=0.5，分析此时的动静态性能： β 等ζ =0.5线 系统第三个实根为 ，则此时闭环特征方程式可表示为： 与系统的闭环特征方程 比较，可得： 等ζ =0.5线 （倍） ， 是系统的主导闭环极点。于是，可由 ， 所构成的二阶系统来估算原三阶系统动态性能指标。 原系统稳态闭环增益为1，因此相应的二阶系统闭环传递函数为： * * * 第4章 线性系统的根轨迹法 4.1 根轨迹法的基本概念 所谓根轨迹，是指当系统的某个参数（如开环增益）由零连续变化到无穷大时，闭环特征方程的特征根在S平面上形成的若干条曲线。根轨迹上的每个点都是特征方程在某个固定参数时的根（闭环极点）。 闭环系统的特征方程为： 闭环系统的特征根（闭环极点）为： K=0，起始于开环极点； K=1，临界阻尼； K=∞，终止于开环零点。 过、欠阻尼 4.2 根轨迹的基本条件 由根轨迹上的（闭环极）点以及根轨迹的走势可了解动静态性能指标和稳定性。 系统的闭环传递函数为： 特征方程式为： 复变函数等式： 设 即 ——幅值条件 ——相角条件 说明：满足幅相条件的点必定是根轨迹上的点。 则s必定是某根轨迹上的点。 例4-1 试检验图示根轨迹的相角条件,求根轨迹上的点S1=－1.5+j0和点S2 =－1+j1.5所对应的K值。 如图所示，任意选择实轴和复平面根轨迹上的点，证明相角条件。 对于点S1=－1.5+j0 ，根轨迹增益为： 对于点S2= －1+j1.5 ，根轨迹增益为： 4.3 绘制根轨迹的基本规则 规则1 绘制根轨迹的形式 规则2 根轨迹的分支数及起点和终点 起点就是K=0时的s值（s=-pi） ，终点就是K=∞时的s值（s=-zj） 。 结论： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，其分支数等于开环或闭环的极点数。 因为n≥m，所以将有n-m条分支的终点→∞。 开、闭环极点数和分支数相等 。 设实轴上点s1在根轨迹上，z1和pi（i=1，2，3，4，5）分别为开环零极点，即根轨迹的起止点，则 设s2如图所示，则 ● s2 结论： 实轴上某线段右方的开环零极点数之和为奇数时，该段为实轴上的根轨迹段。 规则3 根轨迹在实轴上的分布 应绘制Kˊ（根轨迹增益=2×开环增益）的参数根轨迹。 起止点： 实轴上的根轨迹： 规则4 根轨迹的对称性 复变函数等式： 结论：复变函数关于实轴对称，所以根轨迹关于实轴对称。 规则5 根轨迹的渐近线 界定n-m条根轨迹分支在K→∞时趋向无限零点的极限走向。 1．渐近线的倾角 分析：当K→∞时，SZj，Pi，若在∞处观察，Zj、Pi聚合成一个点，这个点就是渐近线的起点。由于对称性，该点应在实轴上，坐标应是Zj、Pi 的几何中心点，所谓“质心”