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第一讲 复变函数与解析函数 关于复数的几个概念复习: 1) 复数序列 z { } n 2) 聚点 : 给定序列 z , ∃复数 z , ∀ε0 ,恒有无穷多个 zn 满足 { } n z −z ε,则称 z 为 z 的一个聚点(或极限点)。 n { } n 一个序列可以有不止一个聚点。 对实数序列 x 可以定义上极限 和下极限 x 。 { } limx lim n n n x →∞ x →∞ 3) 有界序列: 给定序列 z ,if ∃M 0 ,使∀n ,都有 z M ,则序列称为 { } n n 有界的,否则为无界的。 4) 序列极限存在的柯西充要条件: 给定序列 z ,对∀ε0 ,∃ ,使 { } N ε 0 n ( ) 对于任意正整数 p ,有 zN +p −zN ε 。 1. 函数 complex functions 1.1 定义 复变函数就是自变量为复数的函数: w z f z u x, y +iv x, y ( ) ( ) ( ) ( ) 一个复变函数是两个二元实变函数的有序组合。有单值函数和多值函数之别。 1.2 区域 (Regions in the complex plane ) 开区域 G :由边界线L 围的区域,不包括边界L 闭区域G :开区域G +边界线L =G ① 点 a 的ε邻域(ε neighborhood ) ② 内点(an interior point) ③ 边界点(a boundary point) ④ 外点(an exterior point) 单连通区域(simply connected domain) 复连通域(Multiple connected domain ) 边界的方向性:若区域恒保持在边界左方,此走向为边界正向。 1.3 复变函数的极限和连续 复变函数的极限性质是实变情况的推广,实变函数中有关的运算规则和讨论 在这里均成立。 1 2 复变函数的导数 The derivative of a complex function 2.1 导数 Derivative 设w f z 是在区域 G 中定义为单值函数,有 f ′z lim Δw dw ( ) ( )

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