§4.2—幂级数.ppt

四、小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定 理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级 数的运算性质. § 4.2 幂级数 Class is Over, You are Dismiss * §4.2 幂级数 一、幂级数的概念 二、幂级数的敛散性 三、幂级数的运算和性质 四、小结与思考 * Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavanger), NorwayDied: 6 April 1829 in Froland, Norway Niels Abel 一、幂级数的概念 1.复变函数项级数、和函数 定义 内有定义. 表达式 称为复变函数项级数, 记作 § 4.2 幂级数 其中各项在区域D 称为这级数的部分和. 级数最前面n项的和 和函数 § 4.2 幂级数 称该函数为该级数在区域D上的和函数. 如果级数在D 内处处收敛,那末它的和一定 2. 幂级数 当 或 得到函数项级数的特殊情形： 或 这种级数称为幂级数. § 4.2 幂级数 二、幂级数的敛散性 1. 定理一 (阿贝尔Abel定理) 如果级数 在 收敛, 那末对 的 级数必绝对收敛, 如果 在 级数发散, 那末对满足 的 级数必发散. 满足 阿贝尔介绍 § 4.2 幂级数 同实变幂级数一样，复变幂级数也有幂级数收敛定理. 阿贝尔（1802～1829）Abel，Niels Henrik,挪威数学家。近代数学发展的先驱。1802年8月5日生于 芬岛 ，1829 年4 月 6日卒于弗鲁兰 。解决了用根式求解五次方程的不可能性问题,阿贝尔群,奠基性工作为椭圆函数论的研究开拓了道路 § 4.2 幂级数 证明： 由收敛的必要条件, 有 因而存在正数M,使对所有的n, 由正项级数的比较判别法知: 而 收敛. 另一部分的证明请课后完成. § 4.2 幂级数 2. 收敛圆域与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛. 由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛. 例如,级数 对任意固定的z,从某个n开始,总有 于是有 故该级数对任意的z均收敛. § 4.2 幂级数 (2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. (3) 既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数. 例如,级数 通项不趋于零,故级数发散. 如图: . . 收敛圆 收敛半径 幂级数 的收敛范围 是以原点为中心的圆域. § 4.2 幂级数 幂级数 的收敛范围： 结论1: 幂级数在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析. 结论2: 例如 讨论级数: 收敛圆周上无收敛点; 在收敛圆周上处处收敛. § 4.2 幂级数 * 例1 求幂级数 的收敛范围与和函数. § 4.2 幂级数 * 例1 求幂级数 的收敛范围与和函数. § 4.2 幂级数 解 级数的部分和为 级数 收敛, 级数 发散. 且有 收敛范围为一单位圆域 由阿贝尔定理知: 在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 3. 收敛半径的求法 定理二(比值法): 那末收敛半径 证明 由于 § 4.2 幂级数 收敛. 根据上节定理三, § 4.2 幂级数 据阿贝尔定理, 所以收敛半径为 [证毕] 即假设不成立 . 如果: 即 注意: 存在且不为零 . 定理中极限 (极限不存在), 即 § 4.2 幂级数 练习 试求幂级数 的收敛半径. 解 定理三 (根值法) 那末收敛半径 说明: (与比值法相同) 如果 § 4.2 幂级数 例2 求下列幂级数的收敛半径: (1) (并讨论在收敛圆周上的情形) (2) (并讨论 时的情形) (3) § 4.2 幂级数 例2 求下列幂级数的收敛半径: (1) (并讨论在收敛圆周上的情形) (2) (并讨论 时的情形) (3) § 4.2 幂级数 或 解 (1) 因为 所以收敛半径 即原级数在圆 内收敛, 在圆外发散, 收敛,故在收敛圆上处处收敛. 在圆周 上, 级数 说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点. 原级数成为 交错级数, 收敛. 发散. 原级数成为 调和级数， (2) § 4.2 幂级数 故收敛半径 (3) * 例3 求 的收敛半径. 解 所以 § 4.2 幂级数 三、幂级数的运算和性质 1.幂级数的有理运算 § 4.2 幂级数 * § 4.2 幂级数 例4 设有幂级数 及 ,求 的收敛半径. 解