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§4 正定二次型 一、正定二次型 定义 设有实二次型f（），如果对于任意一组不全为零的实数都有f（）0.则称 f为正定二次型。 如，二次型 f（）= 是正定的，因为只有在c1=c2=…=cn=0时， 才为零. 正定性的判定 1．实二次型 f（）= d1x12+d2x22+…+dnxn2 是正定的当且仅当di＞0 ，i=1,2,…,n. . 2．非退化线性替换不改变二次型的正定性 证明：设实二次型 f（）= ,aij=aji , (1) 是正定的，经过非退化实线性替换 X=CY (2) 变成二次型 g（）= , bij=bji (3) 则 的二次型g（）也是正定的，事实上，令 y1=k1,y2=k2,…,yn=kn 代入⑵的右端，就得对应的一组值.譬如说，是这就是说 =C 因为C可逆，就有 =C-1 所以当是一组不全为零的实数时，也是一组不全为零的实数.显然 g（）= f（）0 因为二次型⑶也可以经非退化实线性替换 变到二次型⑴，所以按同样理由，当⑶正定时⑴也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变。 3．定理5 n元实二次型f（）是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n. 证明 设二次型f（）经过非退化实线性替换变成标准形 d1y12+d2y22+…+dnyn2 (4) 上面的讨论表明，f（）正定当且仅当⑷是正定的，又二次型⑷是正定的当且仅当di0,i=1,2,…,n,即正惯性指数为n. 4．正定二次型f（）的规范形为 y12+y22+…+yn2 二、正定矩阵 定义 实对称矩阵A为正定的，如果二次型 正定. 正定矩阵的判定 1．实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同 推论 正定矩阵的行列式大于零. 证明 设A是一正定矩阵.因为A与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵C使 A=C’EC=C’C 两边取行列式，就有 |A|=|C’||C|=|C|20 有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个二次型是不是正定的，而不希望通过它的规范形.下面就来解决这个问题.为此，引入 定义 子式 Pi=(i=1,2,…,n) 称为矩阵A=(aij)nn的顺序主子式. 2． 定理6 实二次型 f（== 是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零. 证明 先证必要性.设二次型 f()= 是正定的.对于每个κ，1≤к≤n，令 fk()= 我们来证明fk是一个κ元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数，有 fk()==f (c1,…,ck,0,…,0)0 因此fk()是正定的.由上面的的推论，fk的矩阵的行列式 0 , k=1,…,n. 这就证明了矩阵A的顺序主子式全大于零. 再证充分性.对n作数学归纳法. 当n=1时， f(x1)=a11x12 由条件a110显然有f(x1)是正定的. 假设充分性的论断对于n-1元二次型已经成立，现在来证n元的情形. 令 A1= , α= 于是A可以分块写成 A= 既然A的顺序主子式全大于零，当然 的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，A1是正定矩阵，换句话说，有可逆的n-1级矩阵G使 G’A1G=En-1, 这里代表n-1级单位矩阵.令 C1= 于是 == 再令 C2=, 有 = = 令 C=C1C2 , ann-=a , 就有 = 两边取行列式， |C|2|A|=a 由条