刚体动力学（RigidBodyDynamics）.PDF

刚体动力学（Rigid Body Dynamics ） 任    程                 本文的内容由作者翻译整理了Brian Vincent Mirtich 博士毕业论文“Impulse- based dynamic simulation of rigid body systems,1996 ”的附录而来。 本文并不系统讲解刚体动力学，却旨在提纲挈领的讲解在学习刚体动力学 （Rigid Body Dynamics）的过程中的几个十分关键的问题。其中第1 节介绍向 量、矩阵在不同坐标系间的转换及其作用，第2 节介绍用矩阵表示的向量叉积并 利用其表述矩阵的求导运算，第3 节利用1、2 节的内容进一步导出实用的动力学 公式，说明了为何物理书中的刚体动力学公式形式有τ(t) I(t) 和 τ(t) Iα(t) (t) I(t) 两种情形，而在实际情况（如机器人领域、计算机图形与 动画领域）中使用的经常为τ(t) Iα(t) (t) I(t) 。 阅读本文前您需要已经具备最基本的向量、矩阵的知识，并已经知道基本的牛 顿力学定律F ma 。 1. 向量、矩阵、坐标系 本文中，一个坐标系指右手方向的三维坐标系，其三个基准轴向量i, j ,k 相互正 交，满足i j k 。 我们经常要将某向量在一个坐标系下的坐标转换到另一个坐标系下。例如对于 一个向量v ，设3 1 列向量 表示其在坐标系F （坐标系常以大写斜体字母表 v f 示）下的坐标，3 1 列向量v 表示其在坐标系G 下的坐标。如果我们以三个3 1 g 列向量 分别表示坐标系 的基准轴i, j, k 在坐标系 下的坐标。则有坐标转 r ,r ,r F G x y z 换公式： v r r r v Rv g  x y z  f f 其中 的矩阵 为一个旋转矩阵，它将向量v 在坐标系 下的坐标转换为其在坐 3 3 R F 标系 下的坐标，此后本文中将称 为“由坐标系 到坐标系 的旋转矩阵”。一个旋 G R F G 转矩阵的各个列向量为单位向量（即长度为1），且相互正交。此矩阵的各个行向量同样 亦是如此。矩阵 的行列式（determinant ）为1，且 的一个重要且十分常用的特征为  R R R1 RT (1.1) 1 式(1.1)在被广泛应用于快速计算R 。 除向量外，矩阵也经常要被变换到不同坐标系中以能够作用于不同坐标系下的 向量坐标。例如，设向量和向量 分别表示一个刚体“在相对于附着在其自身的 L 局部坐标系下”的角速度（angular velocity ）和角动量（angular momentum ）， 则 和 的关系为  L L I 其中I 为一个3 3 的质量矩阵（mass matrix）。对于如何得到公式L