河南理工大学2011-2012学年第2学期.doc

河南理工大学 2011-2012 学年第 2 学期 《高等代数》试卷 总得分 阅卷人 复查人 考试方式 本试卷考试分数占学生总评成绩比例 闭卷 80 % 分数 28 得分 1.设，若的不变因子为：则的若当标准形为　　　　　　　　　　　　 2.设，问　　　　时，能对角化. 3.在维欧氏空间中，向量在标准正交基下的坐标是，那么 ＝　　　　． 4.设是线性空间的一组基，的一个线性变换在这组基下的矩阵是， 则 在基下的矩阵＝　　　　　　　　. 5.设为数域上秩为的阶矩阵，定义维列向量空间的线性变换 ：,则＝　　　，＝　　　. 6.设有的子空间， 则　　 　　　.= 　　 　　　. 7.已知的两组基,,,和 ,,,, 由基到基的过渡矩阵为　　 　　　. 1.在n维实线性空间中，对于向量，定义，则 构成欧氏空间。 ( ) 2.设是线性空间的一个线性变换，线性无关，则向量组也线性无关. （ ） 3.设，则是的子空间. ( ) 4.已知为上的线性空间，则维(V）＝2. ( ) 5.二次型的秩为3. ( ) 1（7分）、 设矩阵为矩阵，，证明：当时，B为正定矩阵. 2（9分）、设给定欧氏空间的变换，其中为中取定的单位向量，证明（1）为线性变换； （2）为正交变换. 3（9分）、是数域上的2级全体方阵所成的线性空间，令 证明:是的子空间，并求的维数和一组基. 4（11分）、中线性变换在基下的矩阵为，线性变换在基下的矩阵为，求在基下的矩阵. 5（16分）、在二次型中，已知二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为，求 （1）求的值； （2）求正交变换，把二次型化为标准形. 答案 一、填空：（每小题4分，共28分） 1） ； 2）, ；3）相同的维数4） 5) 6) 6）， 7) 二、判断题（正确的打√，错误的打×，每小题4分，共20分） 1) ; 2) ); 3) ; 4) ; 5) 三、（7分） 证明：（1），所以B为对称矩阵， 则 由于 又， 则 因此 有 即二次型为正定二次型，所以B为正定矩阵. 四（9分）、证明（1） 所以为线性变换 （2） 所以为正交变换. 五（9分）、.证明 则 所以W是的子空间. 所以W的维数是2，一组基为 六（11分）、解 令， 则有 所以 则在基下的矩阵为 在基下的矩阵为 七（16分）、解 二次型的矩阵为 （1）设A的特征值为，则有 所以 （2）　 故的特征值为． 当时, 解方程， 得基础解系. 取 当时，解方程，得基础解系 正交，将单位化得 于是正交矩阵为 则有正交变换，使得 ． 第1页（共3页） 专业班级： 姓名： 学号： …………………………密………………………………封………………………………线………………………… 二、判断题，正确的打√，错误的打×,每小题4分 一、填空题，每小题4分