第17章章勾股定理教材分析用.ppt

即第三条边的长是5cm． 例3　已知一个直角三角形的两条边是3cm和4cm，求第三条边的长． 　 错解　因为直角三角形的两条边是3cm和4cm，所以由勾股定理，得第三条边，即斜边是 四、勾股定理学习中常见错解 探索 第三类 忽视直角三角形边的分类讨论 剖析　受勾3股4的影响，误以为已知的3cm和4cm就是两条直角边，求第三条边的长就是斜边，当然是5了．事实上，这里也并没有指明已知的两条边就是直角边，所以4cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论． 例3　已知一个直角三角形的两条边是3cm和4cm，求第三条边的长． 四、勾股定理学习中常见错解 探索 第三类 忽视直角三角形边的分类讨论 所以BC＝BD+ CD＝9+5＝14． 故S△ABC＝ 错解　如图1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，分别由勾股定理，得BD＝ 四、勾股定理学习中常见错解 第四类 忽视对图形中高的分类讨论 例4　已知：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm，求S△ABC． CD＝ BC·A D ×14×12＝84（cm2）． 探索 四、勾股定理学习中常见错解 第四类 忽视对图形中高的分类讨论 例4　已知：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高A D＝12cm，求S△ABC． 图2 C D B A 剖析　由于给定的条件中并没有给出图形，所以求解时除了要考虑如图1的情况外，还要考虑如图2的情况．即要画出所有可能的图形．错解时正是漏掉了如图2的情形． 探索 错解　如图3，作BD⊥AC于D，则在Rt△ABD和Rt△CBD中，分别由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝BC2－CD2，即AB2－AD2＝BC2－(AC－AD)2，所以82－AD2＝62－(8－AD)2，即AD＝ 四、勾股定理学习中常见错解 第五类 例5　已知：等腰三角形中，一边长是6cm，另一边是8cm，求一腰上的高． 忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论 ，所以BD＝ 四、勾股定理学习中常见错解 探索 第五类 例5　已知：等腰三角形中，一边长是6cm，另一边是8cm，求一腰上的高． 忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论 剖析　对于已知等腰三角形的两边应分类讨论，漏解的原因可能是只对图3中的一种情况计算，而忽视了如图4的情形． 附1:勾股定理的历史 探索 课外拓展 人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程，这在世界许多地区的数学原始文献中都有反映．最早发现“勾三股四弦五”这一特殊关系的是古埃及人，这一事实可以追溯到公元前25世纪，中国古代数学家也较早独立发现并证明过勾股定理，而对它的应用更有许多独到之处。勾股定理一般情况的发现和证明，那要归功于古希腊的毕达哥拉斯。 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。在稍后一点的《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。” 附1:勾股定理的历史 探索 课外拓展 古埃及人曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。 从古巴比伦的泥版书中，一块泥版上，刻的一个奇特数表（勾股数表）来看，古巴比伦人已认识了一般直角三角形的勾股定理。 附1:勾股定理的历史 探索 我国古代称直角三角形中短的一条直角边为勾，长的一条直角边为股，斜边为弦，所以之一定理通常称为勾股弦定理，简称勾股定理。在《周髀算经》中叙述了西周开国时期（约公元前一千一百多年）周公和商高的对话，商高说：“股折矩以勾广三，股修四，经隅五。”说明已认识到这一定理的特例，所以又叫商高定理。 课外拓展 附1:勾股定理的历史 探索 课外拓展 我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著的《勾股方圆图注》中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的。 每个直角三角形的面积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实，大正方形面积叫弦实，这个图也叫弦图。也是2002年8月20日~28日 在我国首都北京举办的第24届国际数学家大会会标. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会 附1:勾股定理的历史 探索 课外拓展 在西方，这个定理叫“毕达哥拉斯定理”，一般认为是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前五百五十年左右发现并证明的。相传，毕达哥拉斯发现这一定理时，曾宰牛百千，广设盛宴，表示庆