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矩阵 II 重要知识点 基本概念：线性映射的矩阵表示；加法；数乘；乘法；矩阵的转置；（反）对称矩阵；初等变换（矩阵）；矩阵的（行或列）秩；矩阵向低；相抵标准性；分块矩阵及其运算；分块初等矩阵；基的变换矩阵。 定理：设关于的基和的基的矩阵为。则。 矩阵与线性映射的多项式：与一般多项式的运算完全一致。 定理：可逆使得使得 可逆初等矩阵使得 初等矩阵使得 可以表示为若干个初等矩阵的乘积。 秩 方程组只有零解。 定理：初等矩阵可逆。 定理：秩的列秩的行秩=秩。 定理：初等变换不改变矩阵的秩。 定理：设秩。则存在可逆矩阵使得。 定理：（1）秩秩秩； （2）秩（秩，秩）； （3）秩秩秩秩； （4）秩秩秩； （5）秩秩秩。 10．定理：设基变为基的变换矩阵为。则。 常见题型及常见解法 求线性映射对应的矩阵。 解法：按定义求解。 关于矩阵运算的计算或证明。 解法：按定义求解。 求特定矩阵（如P155习题12等） 解法1：待定系数法。 求逆矩阵。 解法1：解方程组（如P132例3）。 解法2：初等变换（如P132例）。 解法3：待定系数法（求特殊矩阵的逆矩阵，如分块矩阵等）。 关于可逆矩阵的证明。 解法1：利用可逆矩阵的定义、性质和矩阵多项式。 关于（反）对称矩阵。 解法：按定义求解或按分量求解（如P156习题28）。 关于矩阵的秩的求解或证明。 解法1：初等变换。 解法2：讨论列秩或行秩。 解法3：利用相抵标准型（如P158习题40，41等）。 关于分块矩阵与以上各种题型的混合。 解法：利用以上各种解法以及分块矩阵的运算。 关于坐标变换。 解法1：按定义求解（如关于数域上的坐标变换）。 解法2：以特殊基做过渡（如P152例3）。 关于初等矩阵的性质。 解法：按定义求解。 习题 16．证明：设。 因为是下三角矩阵，所以。 因为，所以。 所以也是下三角矩阵，且 。 20．解：（1）设为任意二元向量。则方程组的增广矩阵为。因为经初等行变换可变为阶梯形矩阵，所以此方程组有唯一解 。所以矩阵可逆，且其逆矩阵。 （4）设为任意三元向量。则方程组的增广矩阵为。因为经初等行变换可变为阶梯形矩阵，所以存在使得方程组无解。所以矩阵不可逆。 （5）证明：充分性：因为，所以对任意的，方程组的增广矩阵经初等行变换可变为。所以方程组有唯一解，从而可逆。 必要性：假设存在使得。不妨设。则对任意的，方程组的增广矩阵经初等行变换可变为 。 所以存在使得方程组无解。所以不可逆。这与已知矛盾，所以。 21．证明：（1）因为，所以。所以。 所以和都是可逆矩阵，且。 （2）假设和都可逆，则可逆。但是不可能是可逆矩阵，此为矛盾。所以和不可能同时都是可逆的。 22．证明：因为是幂零矩阵，所以存在，使得。 因为， 所以。 所以是可逆矩阵，且。 23．证明：因为是同阶可逆矩阵，所以 24．解：因为，所以 。所以 25. 证明：利用数学归纳法。 时，显然成立。 假设时成立。因为，所以 。 26．证明：（1）因为，所以是对称矩阵。 因为，所以是反对称矩阵。 （2）因为，所以可以表示为对称矩阵与反对称矩阵之和。 27．证明：（1）因为是对称矩阵，所以。所以。所以也都是对称矩阵。 （2）充分性：因为是对称矩阵，所以。因为可交换，所以，即是对称矩阵。 必要性：因为是对称矩阵，所以。因为是对称矩阵，所以，即可交换。 28．证明：设。因为是对称矩阵，所以。设，则。因为，所以。因为是实矩阵，所以。所以。 29．（1）解：因为是对称矩阵，所以。所以是对称矩阵。 因为是反对陈矩阵，所以。 所以当时，； 当时，。所以当时是对称矩阵；当时是反对陈聚珍。 （2）证明： 因为， 所以是反对称矩阵。 30．证明：设是一个可逆的对称矩阵，则且（单位阵）。所以。因为可逆，所以，即是对称矩阵。 （是反对称矩阵的证明是类似的，略） 31．解：即用P138中例的方法求逆矩阵。（略） 32．证明：用P138中例的求逆矩阵的方法进行操作，注意到 。（具体略） 33．解：利用：（1）设是一个可逆矩阵，若，则； （2）设是一个可逆矩阵，若，则。 （3）P138中例的求逆矩阵的方法。 34．解：写成的形式，同上题。 35．解：利用初等行变换，把矩阵变成一个阶梯形俱珍（如P141例1）；或用初等行变换及初等列变换，把矩阵变为相抵标准型。（略） 36．证明：（1）设，这儿是元列向量。设。则是元列向量，且。 设秩，秩。不妨设线性无关且线性无关，则可以由线性表示，且可以由线性表示。