第四章矩阵力学基础（II）――表象理论.PDF

第四章 矩阵力学基础(II)――表象理论 一、概念与名词解释 1. 表象 2. 幺正矩阵，幺正变换 3. 占有数表象 4. 薛定谔绘景，海森伯绘景 二、计算 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1. 设厄米算符A 、B 满足A B 1,AB +BA 0, 求： ˆ ˆ ˆ (1) 在A 表象中，算符A 、B 的矩阵表示； ˆ ˆ ˆ (2) 在B 表象中，算符A 、B 的矩阵表示； ˆ ˆ (3) 在A 表象中，算符B 的本征值和本征函数； ˆ ˆ (4) 在B 表象中，算符A 的本征值和本征函数； ˆ ˆ (5) 由A 表象到B 表象的幺征变换矩阵S. 2. 求在动量表象中角动量L 的矩阵元和L 2 的矩阵元. x x 3. 设粒子处于宽度为 a 的无限深方势阱中，求在能量表象中粒子的坐标和动量 的矩阵表示. 4. 在L 表象中，求Ψ(ϕ) C sin2 ϕ的矩阵表示. z 2 5. 已知在L 和L 的共同表象中，算符L 和L 的矩阵分别为 z x y ⎛0 1 0⎞ ⎛0 −i 0 ⎞ 2 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ L h⎜1 0 1 ; L h i 0 −i x ⎟ y ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝0 1 0⎠⎟ 2 ⎜⎝0 i 0 ⎠⎟ 求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将L 和L 对角化. x y 6. 在动量表象中，求处于一维均匀场V(x)= -Fx 中粒子的能量本征矢. 7. 在动量表象中，求线谐振子哈密顿算符的矩阵元和能量本征值. ⎛ 0 a⎞ 8. 试将exp⎜⎜⎝−a 0⎠⎟⎟表示为2×2 的矩阵，a 是个正的常数. χ ⎛⎜eiα cos δ⎞⎟ v ⎛⎜1⎞⎟ 9. 已知波函数 ⎜ iβ ⎟，计算它的极化矢量p ，并求能将χ旋转为 态的⎜ ⎟ ⎝e sin δ⎠ ⎝0⎠ 转动矩阵UR . ⎡ˆ 2 ⎤ p 1 2 2 10. 已知线谐振子满足能量本征方程 + µω x n E n ，计算矩阵元 ⎢ ⎥ n ⎣2µ 2 ⎦ 2 3 4 m|x|n，m|x |n，m|x |n，m|x |n.