分形与RS分析.ppt

分 形 理 论及其应用 ——非线性科学三大理论前沿之一 2010年10月 一、非线性复杂系统 Koch曲线 二、非欧氏几何学（分形几何学） sierpinski塞平斯基 数盒子法(box—counting method)与容量维 取边长为r的小盒子(可以理解为拓扑维为d的小盒子)，把分形覆盖起来。由于分形内部有各种层次的空洞和缝隙，所以，有些小盒子是空的，有些小盒子覆盖了分形的一部分。数数多少小盒子不是空的，所得的非空盒子数记为N(r)。然后缩小盒子的尺寸r,所得N(r))自然要增大。当r→0时，得到数盒子法定义的分维： 这是一种常用的计算分形图形分维的实用方法。 在实际应用中只能取有限的r。通常作法是求一系列的r和N(r)，然后由双对数坐标中lgN—1gr的直线的斜率求D0，这里要强调的是上式必须要求存在标度关系 如果不存在这种标度关系，就根本不能使用分维的概念。这样求出的D0叫做容量维。 图： 通过数包括英国海岸线的小盒子数目，计算小盒子数目随盒子大小的变化，可以求出分维。 信息维 表示由盒子数方法求分维的式子主要缺点是没有反映几何对象的不均匀性。含有1个点和许多点的盒子在式中具有同样的权重。因此，我们将修改分维的定义，并相应修改数盒子方法。具体做法是把小盒子编号，如果第i个盒子落入N(r)个点，我们就知道分形中的点落入第i个盒子的概率 这里的N(r)是总的点数。然后利用信息量的公式： 关联维 数盒子方法概念清楚，但实用有限，只有当分维小于二维或在二维附近时，计算才是可行的。当空间维数增高时，计算量迅速上升。目前实践中使用最多的是简便易算的关联维。 若在空间中某一集合由N个点组成，每个点的空间坐标是xi(i＝1，2，…，N)。凡空间距离小于r的点对，称为有关联的点对。数一下有多少对关联点对，它在一切可能的N^2配对中所占的比例称为关联积分，记作： 当r太大时，任何两点都发生关联，C(r)=1,取对数后为0。 如果r取得核实，而数据客观地反映出的标度性质，那么可以定义关联维D2 三、分形理论的应用 城市规模结构分析 城市体系的自相似性(self-similarity)意味着人文地理系统的自组织演化受到某种隐含规则的支配，具有优化趋向，因此，揭示城镇体系的分形几何特征及其支配法则有着重大的理论意义和实践价值。 从理论上讲，网格维数值变化于0～2之间，它反映区域城镇分布的均衡性。当D=0时，表明所有的城镇集中于一点，区域中只有一个城市，这种情况在现实中一般不会出现。 当D=d=2时，表明区域城镇均匀分布，标准的中心地模型即属于这种情况。只要赋予Christaller模型以某种对称破缺，它便显示分形几何结构。实际上，中心地系统隐含着分形集性质。 正常情况下，1＜D＜2,D越大表明城镇体系各要素的空间分布越均衡，反之则越集中，当D→1时，表明城镇体系均匀地集中到一条线(如铁路、河流、海岸等)上了。 山东省48个城市，采用2006年市区人口计算维数=2.094 城市空间结构分析 就表征空间分布而言，空间关联维数与网格维数含义相似，反映了城镇体系要素空间分布的均衡性。 一般情况下，其数值变化于0～2之间，当D→0时，表明城镇分布高度集中于一地(形成一个首位城市)；当D→2时，表明城镇的空间分布很均匀。 空间关联维数的独特用途在于可以反映城镇体系各要素之间交通网络的通达性，从而指示城市之间的关联性。 借助地图，测量城市两两之间的距离dij 取定码尺r=1 250，1 200，…,150(显然步长Δr=50(5 mm))，相应地N(r)=289,287,…,17，于是得到点列(r,N(r))(表4)，将点列标绘在ln-ln坐标图中，发现存在明显的无标度区，即点列呈现局部的对数线性分布 对无标度区内的点子(lnr，lnN(r))进行回归运算，得分维D 当dij改用基于公路的乳牛距离时，计算出公路交通网络的分维数 R/S分析 ( rescaled range analysis) 通常用来分析时间序列的分形特征和长期记忆过程 最初由英国水文学家赫斯特(Hurst,1951年)在研究尼罗河水坝工程时提出的方法。 后来，它被用在各种时间序列的分析之中。 The Hurst exponent is used as a measure of the long term memory of time series, i.e. the autocorrelation of the time series. Where a value of 0 H 0.5 indicates a time series with negative autocorrelation (e