第二讲 证明不等式的基本方法 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)44195.ppt

法三(分析法)：要证|ac＋bd|≤1， 只需证明(ac＋bd)2≤1. 即只需证明a2c2＋2abcd＋b2d2≤1. ① 由于a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，因此①式等价于 a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)， ② 将②式展开、化简，得(ad－bc)2≥0. ③ 因为a，b，c，d都是实数，所以③式成立，即①式成立． 原命题得证． 点击下图片进入: * * * * 比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． 综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立． 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握． 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式． 当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效． 由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用． (1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确． (2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的． [例4]　若a，b，c为直角三角形三边，c为斜边．求证：a3＋b3＜c3. 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是 (　　) A．综合法　　　　　　 B．分析法 C．反证法 D．以上都不是 解析：上述证明过程是从已知条件出发，经过推理论证得到结论，用了综合法． 答案：A 解析：“xn＜xn＋1或xn＞xn＋1”的对立面是“xn＝xn＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一个”． 答案：B 3．若a0，b0，则p＝aabb，q＝abba的大小关系是 (　　) A．p≥q B．p≤q C．pq D．pq 答案：A 答案：C 二、填空题 5．设α、β为锐角，且M＝sin(α＋β)，N＝sinα＋ sinβ，则M、N的大小关系是________． 解析：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsinα＋sinβ. 答案：MN 答案：M＜N 答案： 答案：a≥0，b≥0，a≠b 三、解答题 9．设a≥b0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 证明：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) ＝(3a2－2b2)(a－b)． 因为a≥b0，所以a－b≥0,3a2－2b20， 从而(3a2－2b2)(a－b)≥0. 故3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立。 10．已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1， 求证：|ac＋bd|≤1. [例1]　若x，y，zR，a＞0，b＞0，c＞0，求证： x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)． [证明]　x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx) ＝(x2＋y2－2xy)＋(y2＋z2－2yz)＋(z2＋x2－2zx)＝( x－y)2＋( y－ z)2＋( z－x)2≥0. x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)成立. [例2]　设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)·f(1)＞0，求证： (1)方程f(x