5.2平面向量基本定理及坐标表示教案.doc

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示 1． 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2． 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3． 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥bx1y2－x2y1＝0. [难点正本　疑点清源] 1． 基底的不唯一性 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 2． 向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化． 1． 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 2． 在ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为__________． 3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与b平行，则k＝________. 4． 若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c等于 A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a＋3b 5． (2011·广东)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于(　　) A. B. C．1 D．2 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求＋的值． 如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为_____． 题型二　向量坐标的基本运算 例2　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M、N的坐标及向量的坐标． 已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，则第四个顶点D的坐标是__________________． 题型三　共线向量的坐标表示 例3　平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题： (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. (2011·北京)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若(a－2b)与c共线，则k＝________. 答案　1 解析　a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)，又∵(a－2b)与c共线，∴(a－2b)∥c， ∴×－3×k＝0，解得k＝1.忽视平面向量基本定理的使用条件致误典例：(12分)已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？ 方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题． 3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用． 失误与防范 1．要区分点的坐标和向量坐标的不同，向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减始点坐标；向量坐标中既有大小的信息，又有方向的信息． 2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.　专项基础训练 一、选择题 1． 与向量a＝(12,5)平行的单位向量为(　　) A. B. C.或 D. 2.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝