2平面向量基本定理.doc

§2.2.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ （1）|λ|=|λ|||；（2）λ0时λ与方向相同；λ0时λ与方向相反；λ=0时λ= 2．运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ 3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ. 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2. 探究： (1) 我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 三、讲解范例： 例1 已知向量， 求作向量. 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和 例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4 例4（1）如图，，不共线，=t (t(R)用，. （2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线. 例5 已知 ，，其中不共线，向量，问是否存在这样的实数与共线. 四、课堂练习： 1.设是同一平面内的两个向量，则有( ) A.一定平行 B.的模相等 C.同一平面内的任一向量都有 (λ、μ∈R) D.若不共线，则同一平面内的任一向量 都有 (λ、u∈R) 2.已知矢量，，其中不共线，则与的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量不共线，实数x、y满足，则x-y的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 4.已知不共线，且(λ1，λ2∈R)，若与共线，则λ1= . 5.已知λ1＞0，λ2＞0，是一组基底，且，则与_____，与_________(填共线或不共线). §2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 一、复习引入： 平面向量基本定理： 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 ………… 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作 ………… 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为. 特别地，，，. 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定. 设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算 （1） 若，，则= ，= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 证明： （2） 若，，则 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. =(=( x2， y2) (x1，y1)= (x2 x1， y2 y1) （3）若和实数，则. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 证明： 三、讲解范例： 例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，的坐标. 例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标. 已知平面上三点的坐标分别为A((2， 1)， B(1， 3)， (3， 4)M(3， -2) N(-5， -1) ， P点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) (2=