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《数学模型》习题解答 第二章(1)（2008年9月16日） 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q值方法； （3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 1 2 3 4 5 A B C 235 117.5 78.3 58.75 … 333 166.5 111 83.25 … 432 216 144 108 86.4 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， 方法一（按比例分配） 分配结果为： 方法二（Q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 第10个席位：计算Q值为 最大，第10个席位应给C.分配结果为 方法三（d’Hondt方法） 此方法的分配结果为： 此方法的道理是：记和为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人数，取从而得到的中选较大者，可使对所有的尽量接近. 再考虑的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 宿舍 （1） （2） （3） （1） （2） （3） A B C 3 2 2 3 3 3 4 5 5 4 4 3 5 5 5 6 6 7 总计 10 10 10 15 15 15 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑到时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得两边积分，得 《数学模型》作业解答 第二章(2)（2008年10月9日） 15．速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车获得的功率与、S、的关系. 解: 设、、S、的关系为， 其量纲表达式为: [P]=, []=,[]=,[]=,这里是基本量纲. 量纲矩阵为： A= 齐次线性方程组为： 它的基本解为 由量纲定理得　， ， 其中是无量纲常数. 16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式. 解：设,,, 的关系为,,,=0.其量纲表达式为[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲. 量纲矩阵为 A= 齐次线性方程组Ay=0 ，即 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲定理 得 . ，其中是无量纲常数. 16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式. 解：设,,,， 的关系为.其量纲表达式为 []=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T0 ，[]=LM0T-2 其中L，M，T是基本量纲. 量纲矩阵为 A= 齐次线性方程组Ay=0 即 的基本解为 得到两个相互独立的无量纲量 即 . 由 , 得 , 其中是未定函数. 20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给