Chapter13 VARMA模型.doc

VARMA模型 1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。 基本概念 向量平稳过程 设X t = (x1t, x2t, …, xNt)由N个随机过程构成的多维随机过程。如果X t的一阶矩（均值）和二阶矩（协方差） 为时不变的，即与t没有关系，则称X t为弱平稳过程。 当k=0时，表示X t的同期协方差矩阵，对角线元素(ii(0)表示过程{xit}的方差，非对角线元素(ij(0)表示过程{xit}与{xjt}的协方差。当k≠0时，对角线元素(ii(k)表示{xit}与{xit-k}的协方差，非对角线元素(ij(k)表示{xit}与{xjt-k}的协方差。 跨相关矩阵 令D表示X t = (x1t, x2t, …, xNt)标准差构成的对角矩阵，则X t与X t-k关系数矩阵为： 其中，第i行第j列的元素具体为： 当k=0时，ρ0=D-1Γ0D-1表示Xt的同期相关系数矩阵。对角线元素(ii(0)表示过程{xit}的同期相关系数1，非对角线元素(ij(0)表示过程{xit}与{xjt}的同期跨相关系数。当k≠0时，对角线元素(ii(k)表示{xit}与{xit-k}的自相关系数，非对角线元素(ij(k)表示{xit}与{xjt-k}的跨相关系数。 显然，(ij(k)与(ji(k)表示不同的线性依存关系，一般情况下，(ij(k)≠(ji(k)。因此，(ij(k)和ρij(k)不是对称矩阵。由以及平稳条件可得： 即：(ij(k)= (ji(-k)，(ij(k)表示矩阵((k)的第i行第j列元素，(ji(-k)表示矩阵((-k)的第j行第i列元素。因此，((k) ≠((-k)，而是((k) = ((-k)ρij(k)≠ρ(-k)，而是ρ(k)=ρ(-k) 将多维相关矩阵总结如下。 (ij(k)（k=0,1,…）表示{xit}的自相关函数。 (ij(k)（k=0,1,…）表示{xit}与{xjt}的同期相关系数。 (ij(k)（k=0,1,…）表示{xit}与{xj,t-k}的跨期相关系数。 样本相关系数矩阵估计公式为： 其中， Kosking（1980，1981）和Li and McLeod（1981）将单变量情形下的Ljung-Box Q统计量推广到多元情形。 原假设为：ρ(k)=0，k=1, 2, …m。即不存在自相关和跨相关。 检验统计量为： 在原假设成立的条件下，。其中，N表示变量的个数。 例：1926年1月至1999年11月，SP500指数收益率和IBM股价收益率的自相关和跨相关。 例：石油期货与现货价格 多维变量滤子 设A(L)和B(L)表示两个滤子。{Aj}和{Bj}表示m(r和r(s矩阵。滤子的积为 D(L)=A(L) B(L) 如果A(L) B(L)=I，则称B(L)为A(L)的逆，或者A(L)为B(L)的逆。从卷积公式可以看出，只要A0(0，A(L)的逆就存在。((L) = I-(1L的逆。A0(I，A1=-(1。 B0(I B1+ A1=0 ( B1=-A1 = (1 B2 + A1B1 + A2 = 0 ( B2 =-A1B1 = (12 ... Bj = (1j 向量自回归模型设定 VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型 y1, t = f (y1, t-1, y1, t-2, …) y2, t = f (y2, t-1, y2, t-2, …) 则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。VAR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N，一个是最大滞后阶数k。含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下： Yt = c + (1 Yt-1 + (2 Yt-2 + … + (k Yt-k + ut, ut ( IID (0, () (8.4) 其中， Yt为N(1阶时间序列列向量。 c为N(1阶常数项列向量。(1, … , (k 均为N(N阶参数矩阵，ut ( IID (0, () 是N(1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。 用滞后算子的表述为： （I-(1L-(2L2-…-(pLp）Yt = ((L)Yt = c + ut 此处，c表示的不是Yt的均值。对于平稳过程来讲，Yt的均值为： E(Yt) =(= ((