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Chapter1 线性回归模型的OLS估计
线性回归模型施肥量、土质与农业产量的关系受教育年数、工龄、对收入的影响警察数量、下岗职工对城市犯罪率的影响
模型设定假定变量yt与k个变量xt j, j = 1, … , k,存在线性关系。多元线性回归模型表示为,
1.1
其中yt是被解释变量(因变量),xj t是解释变量(自变量),ut是随机误差项,(i, i = 0, 1, … , k是回归参数(通常未知)。这说明xj t, j = 1, … , k, 是yt的重要解释变量。ut代表影响yt变化的因素。
给定一个样本(yt , xt1, xt2 ,…, xt k),t = 1, 2, …, T,上述模型表示为,
1.2
令
,
,
则(3.3) 式可以写为,
= X( + u 1.3
参数估计
参数的点估计
最小二乘法(OLS)
设残差平方和用Q表示,
1.4
上式中,因为是一个标量,所以有。求Q对的一阶偏导数,并令其为零,
1.5
化简得,
假定 解释变量之间线性无关。
Rank(XX) = Rank(X) = K+1 1.6
其中(()表示矩阵的秩。的最小二乘估计量 1.7
表示的拟合值,表示残差项。拟合值和残差项经常表示为另外一种形式:
1.8 1.9
其中,,称为矩阵。P表示对X回归的拟合值。,称为零化子矩阵。M表示对X的残差项。Py+My。
可以证明,P和M都是对称幂等矩阵,即
M = M ,P = P M2 = M M = M ,P 2 = P P = P 1.10
且有
PX=X, MX=0 1.11
M+P=I,PM=0
由正规方程组可得。进而可得。即
FML定理
接下来我们介绍OLS估计量的一个重要性质,即FML定理(Frisch and Waugh(1933)、Lovell (1963))。这一定理体现了线性回归模型参数的经济含义。在虚拟变量等问题的处理中重要的应用。
将所有的解释变量拆分为两部分。模型表述为:
1.12
残差平方和为:
1.13
对应的正规方程组为:
1.14
由(1)式可得:
1.15
由此可以看出,如果,则。即当X2与X1正交时,模型与的参数估计量是完全相同的。
将(2.2)式带入正规方程(2)可得到解:
1.16
其中,M1表示X1的零化矩阵,根据零化矩阵的性质,
1.17
其中,表示X2对X1回归的残差项,表示y对X1回归的残差项。由此得到如下定理。
Frisch-Waugh定理:得到相同的估计量和残差。
即,y对X1、X2的回归X2的参数估计量等价于y对X1回归的残差项对X2对X1回归的残差项进行回归得到的参数估计量这一定理表明,多元回归模型中,回归参数β体现了“排除”(partial out)X1影响后的“净”影响。因此,β也称作“偏回归系数”,体现了X2对y的净影响,称之为“偏影响”(partial effect)。也正是由于回归参数β体现了排除X1影响后的“净”影响,因此把X1称作“控制变量”。也就是说,实际经济环境中,我们控制X1的变化。但β2已经把X1的影响排除掉了β2理解为“当其他条件不变的情况下”,X2对y的边际影响。
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