传染病的数学模型.doc

传染病模型详解 2.2.2 经典模型 经典的传播模型大致将人群分为传播态，易感染态和免疫态。态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。假设个体接触感染的概率为，总人数为 N，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下： 从而得到 对此方程进行求解可得： ? ? 可见，起初绝大部分的个体为态，任何一个态个体都会遇到态个体并且传染给对方，网络中的态个数随时间成指数增长。与此同时，随着态个体的减少，网络中态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为态。 然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的态。而有些节点可能会从态转变态，因此简单的模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现模型和模型。 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。采用与病毒传播相似的过程中的，，态 代表传播过程中的三种状态。Zanetee，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。 Moreno 等人将人群分为（传播谣言）、（没有听到谣言），（对谣言不再相信也不传播）。 假设没有听到谣言个体与个体接触，以概率变为个体，个体遇到个体 或个体以概率变为，如图 2.9 所示。建立的平均场方程： 与之前人得到的均匀网络的病毒传播的结论相反，谣言在均匀网络中传播没有阈值。 Moreno 等人将此模型推广到幂率分布的网络，考察了态的稳定值和耗散时间，得出 R态稳定值与感染概率有着紧密联系，而与传播源的度无关。这与一般意义下的病毒传播的结论“传播各状态的密度与传染源节点的度紧密相连”有很大不同。 SIS 模型与 SIS 模型的区别就在于节点成为传播态之后的恢复的状态不同。在 SIR 模型中，传播态节点在传播过程中会根据概率成为免疫状态，而在 SIS 模型中每一个传播节点会以恒值成为 I 态，如图 2.10。 从而得到 SIS 模型的微分方程： 化简得到： 从而得到其稳态值为。若，那么指数下降区域零，意味着谣言不再扩散。 在这之后，许多学者在这些经典模型的基础上提出了改进的模型。如周苗苗等人在经 谣模型的基础上研究了社会网络上的谣言传播并构建了数学模型，得出了最终集合 As 的期望值的相关结论。孙庆山等人在经典和模型的基础上，研究了社会网络的谣言传播，首次将信息的吸引力作为传播因素引入传播模型中。Vespignani 提出了网络动力学传播模型，详尽分析了单种群中的动力学过程[31]。这些模型有的已经摆脱了平均场方程的表达传播过程方法，采用元胞自动机以及随机过程的方法表达，但是思想仍是采用 SIR 这样的传播状态和规则。 国内外关于建立网络谣言传播模型方面和网络免疫策略方面的研究已取得了一些有益进展。Zanette D H率先在小世界网络上建立谣言传播模型。Moreno Y等人在无标度网络 上建立了谣言传播模型，通过随机分析方法以及计算机仿真得出结论。文献利用构建改进的 Potts 自旋系统来量化谣言传播因素并建立起基于 Potts 谣言传播模型。元胞自动机作为研究传播的方法之一也取得了较多成果。宣慧玉和张发利用元胞自动机研究了谣言在个体之间流传的的局部交互的过程。刘常昱等人利用元胞自动机和 Agent 设计个体的局部相互作用规则来研究了基于小世界模型构建的人际关系网络中的舆论传播。除此以外，人们发现谣言传播与网络的拓扑性质也有着密切的联系，汪小帆团队发现网络的聚类系数对传播的影响并给出了相应抑制谣言的策略。 针对各种谣言传播模型的免疫干扰研究也是相对比较成熟。免疫策略可分为随机免疫，熟人免疫和目标免疫。随机免疫方法就是完全随机的选取网络中的节点进行免疫。但在无标度网络中使用随机免疫策略的话，几乎要对网络中所有的节点进行免疫才可能使谣言不得扩散出去。相对随机免疫的缺陷，目标免疫通过去除网络中少量度大的节点的连边，切断传播的途径来降低谣言的散步范围就更有实际意义，。虽然目标免