推导SSH模型.doc

题目：详细推导SSH模型。 解：体系的哈密顿量是体系的总能量，聚乙炔链是由CH单元和电子所组成的，因而聚乙炔的总能量是晶格原子和电子两部分能量之和。用和分别表示晶格原子和电子的哈密顿量，则聚乙炔的哈密顿量为 （1.1） 先讨论晶格原子部分的.设原子质量为M，对于聚乙炔，M表示CH单体的质量，M=1.67克，是质子质量），第n个原子在链方向上的位移为，其速度则为，于是所有晶格原子的动能为 （1.2） 晶格原子之间的势能是弹性势能，它正比于相邻原子间距离变化的平方，因为第n个和第n+1个原子的位移各位和， （1.3） 其中K是弹性常数，对于聚乙炔，K=21-56ev/. 于是晶格原子的哈密顿量为 ， （1.4） 再看电子部分的.电子在晶格原子的周期性势场中运动（该势场表示晶格原子和电子的相互作用），设原子的平衡位置为,当它位移了后，原子的瞬时位置为 ， （1.5） 设第i个电子的坐标为，第n个原子对第i个电子的势能为于是，整个晶格中各个原子对第i个电子所产生的势能将是 (1.6) 第i个电子的动能是 ， （1.7） 其中m是电子的质量，是第i个电子的动量，于是第i个电子的哈密顿量为 (1.8) 聚乙炔中所有电子的总哈密顿量是 (1.9) 将电子的动量变为动量算符，就可以得到聚乙炔的总哈密顿算符是 （2.0） 由于原子的质量比电子重得多，其量子效应比较小，所以，在哈密顿算符（2.0）中，原子的动量没有变成算符，因此原子部分的哈密顿量是经典的，处理起来比较简单。电子部分的包含算符，直接从式（2.0）出发，处理起来比较困难，考虑到聚乙炔的特点，利用适当的近似（称为“紧束缚近似”）可使简化。 为此先讨论一个电子在晶格势场中的运动，即。此时，单电子的薛定谔方程为 （2.1） 在聚乙炔中，当电子处于第n个碳原子附近时，电子受到的势能作用主要来源于，其它所有碳原子的势能总和将比小得多，可以视为微扰。也就是说，在附近，电子将比较紧地被第n个碳原子所束缚，其它碳原子对该电子的影响比较小，在零级近似下，方程（2.1）简化为第n个孤立碳原子中的薛定谔方程 (2.2) 其中和是孤立碳原子中的电子本征函数和本征值。由于碳原子中的电子激发态的能量比较高，电子只处于最低的能级上，因而可以只考虑此最低的能级，并认为和就是此最低能级上的波函数和能量。 因为各个碳原子上最低的能量都是相同的，因而不同碳原子上的波函数是相互简并的状态。根据简并态的微扰理论，方程（2.1）中的零级近似波函数应该是所有的线性组合，即 (2.3) 其中是展开系数，表示电子出现在第个原子中的几率。将式（2.3）代入方程（2.1）可求得确定的方程 (2.4) 两边乘上，并对空间积分，注意到不同原子上波函数之间很少交叠，近似地有 (2.5) 即不同的基本上是相互正交的，于是由式（2.4）得到 (2.6) 利用孤立原子的薛定谔方程（2.2），上述方程可简化为 (2.7) 当格点和不是近邻时，原子波函数和之间有交叠，两者乘积的积分等于零，和才有一定的交叠，含有的积分才不等于零，因而 A , ， (2.8) 其它 其中就是相邻两原子之间的相互作用能量，将此式代入式（2