第六章——地球重力场模型.doc

第六章 地球重力场模型 随着空间技术的进步和发展，现在不但有可能根据卫星轨道根数的变化精确地确定地球动力形状因子，而且有可能结合卫星测高仪、卫星追踪卫星技术、卫星重力梯度仪等空间技术的测量结果以及地面重力测量结果计算出地球大地位球函数展开的高阶项系数。以一组数值球函数展开系数表示的地球大地位称为地球重力场模型，地球重力场模型一方面支持卫星轨道的精确计算，另一方面可以给出地面上的长波重力异常场，为研究地球内部结构及其动力学过程提供重要的地面约束条件。 6.1 大地位的球函数展开 现将第二章已经讨论过的大地位球函数展开中的有关公式汇总如下。用表示地球外部空间任一点的径矢，则根据（2.2.18）式，地球在点的大地位球函数展开表示为 其中为地球的地心引力常数，为地球的赤道半径，、分别为点的地心余纬和经度，为的阶次伴随勒让德多项式，、为归一化的阶次球面函数，根据（2.2-1.3）式、（2.2-1.6）式和（2.2-1.8）式，、、、分别为 、和、分别为大地位球函数展开系数和规一化的大地位球函数展开系数，根据（2.2.20）式，有 根据（2.3.4）式、（2.3.5）式，大地位二阶球函数展开系数等于 其中、、分别为地球绕、和其旋转轴轴的转动惯量，、、分别为地球绕相应轴的惯性积，大地位球函数展开有时写成下面的形式 、与大地位球函数展开系数、之间的关系为 称为地球的动力形状因子。当时，、的表达式如表6.1.1所示。 6.2 卫星的正常轨道 卫星在地球的引力场内运动，大地位球函数展开系数中零阶项系数为1，其次为，它约为10-3，其他系数、约为10-6或更小，因而卫星的轨道运动主要受大地位球函数展开中的零阶项控制。大地位球函数展开零阶项控制的卫星轨道称为卫星的正常轨道，大地位球函数展开高阶项系数对卫星的正常轨道产生扰动。 1.卫星的正常轨道运动 卫星在大地位零阶项控制下的轨道运动称为卫星的正常轨道。卫星较地球而言，其质量可以略而不计，卫星在大地位球函数展开零阶项作用下的运动力程为 其中为卫星的径矢，为地球的引力常数。考虑到 根据（6.2.1）式，对卫星有 得 是常矢量。（6.2.2）式表明，卫星的轨道位于过地心且与垂直的平面内。 如图6.2.1所示，在卫星轨道平面内选取平面直角坐标系，原点选在地球的质心，为卫星对地心的径矢，在、极坐标系内，卫星的加速度表达式为 根据上式和（6.2.1）式，卫星的运动方程为 方程（6.2.5）式给出 其中为积分常数。卫星相对地球质心的径矢扫过的面积速度为 （6.2.7）式表明，卫星相对地球质心的径矢在单位时间内扫过的面积相等，等于。引入变量，令 则有 根据（6.2.6）式，有 将其代入上式，得 根据（6.2.10）式、（6.2.9）式，有 得 将（6.2.11）式、（6.2.6）式中的、的表达式代入（6.2.4）式，化简得 二阶常微分方程（6.2.12）式的解为 其中，为二阶常微分方程（6.2.12）的积分常数。将卫星的轨道方程（6.2.13）式与椭圆的极坐标方程（6.2-1.4）式进行对比，可以看出卫星的轨道为一椭圆，其中 根据（6.2.16）式，可以求出卫星对地心的径矢扫过的面积速度： 考虑到椭圆的面积等于，因而卫星绕地球质心的周期为 用表示卫星轨道运动的角频率，根据上式有 （6.2.17）式表明，卫星周期运动的角频率平方与其半长轴立方的乘积等于地心引力常数。（6.2.13）、（6.2.7）、（6.2.17）式表明，在大地位球函数展开零阶项控制下的卫星的正常轨道运动满足行星绕太阳运动的开普勒定律，即 （1）卫星的正常轨道为一椭圆，地心位于椭圆的一个焦点上； （2）卫星至地心的径矢在相同的时间内扫过的面积相等，它的面积速度等于； （3）卫星周期运动的角频率的平方与其轨道长半轴立方的乘积等于地心引力常数。 2.卫星的开普勒运动方程 卫星轨道的长半轴及其偏心率决定了卫星轨道的几何形状，为了确定卫星在任意时间在其轨道上的位置，需要知道它的运动方程。如图6.2.1所示，为地球的质心，为卫星轨道的中心，表示卫星的偏近点角，它等于与卫星轨道长半轴之间的夹角，垂直于，为中心为、半径为的圆周，为中心为、半径为卫星轨道短半轴的圆，根据椭圆的性质，平行与。从图6.2.1中可以看出，卫星在直角坐标系的两个直角坐标、为 其中，表示卫星的真近点角，从上式可以得出卫星的偏近点角及其真近点角的关系： 同时可以求出以偏近点角为变量的卫星的轨道方程，它为 根据（6.2.18）、（6.2.20）式，有 根据卫星的运动方程（6.2.13）式，并顾及到 有 对比（6.2.21）、（6.2.22）式，得