2014年中考数学压轴题精编--广东篇(试题及答案).doc

2014年中考数学压轴题精编—广东篇 1．广东省（中山市、汕头市、东莞市等）如图，已知P是线段AB上的任意一点（不含端点A，B），分别以AP、BP为斜边在AB的同侧作等腰直角△APD和△BPE，连接AE交PD于点M，连接BD交PE于点N． （1）求证：①MN∥AB；②＝＋； （2）若AB＝4，当点P在AB上运动时，求MN 的取值范围． 1．解：（1）①证明：∵△APD和△BPE都是等腰直角三角形，∴∠DAP＝∠EPB＝45° ∴AD∥PE，∴∠DAM＝∠PEM，∠ADM＝∠EPM ∴△DAM∽△PEM，∴AD : PE＝AM : ME 同理可得PD : BE＝PN : NE， ∵AD＝PD，BE＝PE，∴AM : ME＝PN : NE ∴MN∥AP，即MN∥AB 3分 ②证明：∵MN∥AB，∴∠PMN＝∠ACP＝45°，∠PNM＝∠BPE＝45° ∴∠PMN＝∠PNM＝45°，∴△PMN是等腰直角三角形 ∴PM＝MN ∵∠APM＝∠ABE＝45°，∠PAM＝∠BAE（公共角） ∴△APM∽△ABE，∴PM : BE＝AP : AB＝AP :( AP＋BP) ∴MN : BP＝AP :( AP＋BP)[来源:Z_xx_k.Com]＝＋ 6分 （2）解：∵＝＋ ∴MN＝＝＝＝[－(AP－AB)2＋AB 2] ∴MN≤AB（当AP＝AB时，MN取得最大值为AB） ∵AB＝4，．．0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？ （3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．1）由题意知：PW∥MN，PQ∥FN，∴∠MNF＝∠PWF，∠PWF＝∠WPQ ∴MNF＝∠WPQ 同理可得：∠NFM∠PQW或∠NMF＝∠PWQ ∴△FMN∽△QWP 2分 （2）∵△FMN∽△QWP，∴当△FMN为直角三角形时，△PQW也为直角三角形 当0≤x≤4时，若∠NMF＝90°，则有MF 2＋MN 2＝FN 2 即( x 2＋2 2 )＋( 4－x )2＋( 6－x )2＝( 4－x )2＋4 2，此方程无实数解 若∠MNF＝90°，则有MN 2＋FN 2＝MF 2 即( 4－x )2＋( 6－x )2＋( 4－x )2＋4 2＝ x 2＋2 2 解得x＝4或x＝10（舍去） 3分 若∠NFM＝90°，则有MF 2＋FN 2＝MN 2 即( x 2＋2 2 )＋( 4－x )2＋4 2＝( 4－x )2＋( 6－x )2 解得x＝ 4分 所以，当x＝或x＝4时，△PQW为直角三角形当0x＜，＜x＜4时，△PQW不为直角三角形（3）0≤x≤4时间段，当x＝4时，2＝AM 2＋AN 2＝( x－4 )2＋( 6－x )2 ＝2x 2－20x＋52 ＝2( x－5 )2＋2 8分 ∴当x＝5时，2有最小值2，即线段MN最短，此时MN＝ 综上所述，当x＝5时， 9分 3．（广东省广州市）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧 上的任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C． （1）求弦AB的长； （2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC的面积为S，若＝，求△ABC的周长． 3．解：（1）连OA、，OP与AB的交点为F，则有OA1 ∵弦AB垂直平分线段OP，OF＝OP＝，AFBF 在RtAOF中，AF＝＝＝ ∴AB＝2AF＝ 4分 （2）ACB是定值由（1）易知AOB＝120° 连结AD、BD，点D为ABC的内心，CAB＝2∠DAB，CBA＝2∠DBA ∵∠DAB＋∠DBA＝∠AOB＝60°，CAB＋∠CBA＝120° ∴∠ACB＝60°（定值（3）记ABC的周长为l，AC、BC与D的切点分别为G，H，连DG，DC，DH 则有DGDH＝DE，DGAC，DHBC ∴S ＝S△ABD＋S△ACD＋S△BCD ＝AB·DE＋AC·DG＋BC·DH ＝(AB＋BC＋AC)·DE＝l·DE ∵＝，＝，l＝DE ∵CG，CH是D的切线，GCD＝∠ACB＝30° ∴在RtCGD中，CG＝＝DE，CH＝CG＝DE 又由切线长定理可知AGAE，BHBE ∴l＝AB＋BC＋AC＝＋DE＝8DE，解得DE 13分 ∴△ABC的周长为如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线x＋b交折线OAB于点E （1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图