第三讲 高一数学简单的三角恒等变换精编(含答案).doc

第三讲：简单的三角恒等变换 一【基础知识讲解】 1、本章知识网络结构 简单的三角恒等变换 （1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。 （2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。 （3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、 正切公式。 （4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。 三角恒等变换的解题技巧 变换函数名 （2）变换角的形式 （3）以式代值 （4）和积互化 添补法 （6）代数法 （7）数形结合 （8）非特殊角化简 4.三角恒等变换中应注意的一些问题 1.求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1” 的代换法等。 2.化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。 3.当是特殊角时，使用化简． 4.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用，是常用的三角变换． 5.化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧． 6.必须掌握公式变形，． 7.引入辅助角 ，，或 对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如 9.正余弦“三兄妹—”的内存联系――“知一求二” 10.证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 三角形中的有关公式： (1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方. (2)面积公式：（其中为三角形内切圆半径）. 特别提醒：求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：； 二【试题训练】 一. 选择题。 1. 的值为（ D ） A. B. C. D. 2. 可化为（ A ） A. B. C. D. 3. 若，且，则的值是（ B ） A. B. C. D. 4. 函数的周期为T，最大值为A，则（ D ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ C ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ D ） A. B. C. D. 7. 设，则（ D ） A. 4 B. C. D. 8. 的值是（ C ） A. B. C. D. 9. 在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 10. 要使斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（ B ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 正弦值为的锐角 11. 已知向量，向量，向量，则向量与的夹角范围为（ D ） A. B. C. D. 12. 已知：，则的值为（ C ） A. B. 4 C. D. 1 二. 填空题（每小题3分，共12分） 13. 已知，则_____________。 14. 函数的最小正周期为_____________。 已知，且满足关系式，则_____________。 16. 已知。若，则可化简为 _____________。 三. 解答题（每小题10分，共40分） 17. 求值： 解：原式 18.已知，，，，求的值. 解：由已知， 同理， 故． 19.已知为第二象限角，且，求的值. 解：， 当为第二象限角，且时，，， 所以. 20.. 已知α，β均为锐角，且sin α - sin β =-，cos α + cos β =，求cos(α + β)，sin(α - β)的值． 2. 【解】 ①