09级高数单元测验3解析.docVIP

中国矿业大学(北京) 2009级《高等数学单元测验三》参考解答 填空题（每空3分，共34分（第10题4分）） 已知则。 向量在向量上的投影等于。 平面曲线绕轴旋转一周所生成的曲面方程为 。 曲线在xoy平面上的投影曲线为。 过点且与向量及平行的平面方程为 。 2 。 设，则。 设函数具有二阶连续偏导数，则。 设，则。 设，则，沿梯度方向的方向导数=。 计算题（每题9分，共36分） 1. 求过点且与直线垂直相交的直线方程。 解：过点且与直线垂直的平面为： 即：，则直线与平面的交点为： ，，故交点， 而，因此可取直线的方向向量，得所求直线方程为： 2. 设，试求。 解：记，则 ， 所以。 3. 设，求。 解：对上述方程组两边对求导得 由上式可得： 4. 求曲线上一点处的切线方程，且此切线与平面平行。 解：曲线在点处的切向量为，平面的法向量为， 依题意，故，即：，解得，因此，过点的切向量为，所求切线方程为： （5分）求锥面与柱面所围立体在面上的投影区域，并画出此投影区域。 解：在面上，立体由3个曲面围成， 其交线在面上的投影为面上的曲线： 所围的区域，即：. （10分）设，证明在点处连续且偏导数存在，但不可微分。 证明：令，则当时， 所以在点处连续。 （解法二：由于所以，，因此在点处连续。） 因此在点处偏导数存在。 由于，不同，上述极限则不同，因此上述极限不存在，所以在点处不可微分。 （15分）在椭球面第一卦限部分上求一点，使得椭球面在该点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小。 解：过点的切平面的法向量为，切平面的方程为： ，即： 由于点在椭球面上，所以， 代入上式得切平面方程为：， 平面在三个坐标轴上的截距分别为： 则问题转化为求在附加条件下的最小值问题。 作拉格朗日函数 解方程组，得 由实际问题可知最小值一定存在，而点为唯一的驻点，故为所求的切点。 …………………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线……………………………………………. 学院： 专业年级：　　　 　　姓名：　　　 　　学号：　　 　　　 ……………………………...….密………………………………………...………封…………………………………………………线………………..………………………….…