13-4最短路径问题.docVIP

教学课题 13.4最短路径问题 课标要求 知识与技能： 利用轴对称解决两点之间最短路径问题 过程与方法： 通过问题解决培养学生转化问题能力 情感、态度与价值观： 让学生感受数学来源实际，又服务生活，培养数学学习兴趣 识记 理解 应用 综合 知识点 利用两点之间线段最短，解决最短路径问题 √ 目标设计 要求学生熟练地将新问题转化成已解决的问题，培养学生的转化能力。 教学过程设计 情境设计 问题设计 情境一：复习引入 回顾我们以前学过的关于最短的问题。 1.两点之间，线段最短。 2.垂线段最短 以上问题我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。 情境二：直线异侧两点最短路径 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。 （连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。） 情境三：直线同侧两点最短路径 问题1,相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 看图：从A 地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线最短？　 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么？ （将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．） 追问2,你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）． 追问3，对于问题1，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？ 追问4你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点 B′吗？ 师讲解做法：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？ 作法： （1）作点B关于直线l的对称点B； （2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求． 问题2你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC=B′C，BC′=B′C′． ∴AC +BC=AC+B′C=AB′， AC′+BC′=AC′+B′C′ 追问1，证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点 C′（与点C 不重合），证明AC+BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 答：若直线l 上任意一点（与点C不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小． 情景四：运用新知 练习1:如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径。 基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小” 练习2：（找自信——我一定能行） 问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 情景五：小结及作业 小结：同学们谈谈这节课运用了哪些数学知识，你们学到了什么？ 1、两点之间，线段最短的知识在生活中的运用 2、轴对称知识在生活中的运用 第 1 页 共 5 页 认知层次 知识点 B A l C