1978年全国高中数学联赛试题和解答.docVIP

1978年全国高中数学竞赛题 一试题 1．已知y=log，问当x为何值时，(Ⅰ) y0；(Ⅱ) y0？ 2．已知tanx=2 (180°x270°)，求cos2x，cos的值． 3．设椭圆的中心为原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是－，求椭圆方程． 4．已知方程2x2－9x+8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方． 5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度． 6．如图，设线段AB的中点为M，从线段AB上的另一点C向直线AB的一侧引线段CD，令线段CD的中点为N，BD的中点为P，MN的中点为Q，求证：直线PQ平分线段AC． 7．证明：当n、k都是给定的正整数，且n2，k2时，n(n－1)k－1可以写成n个连续偶数的和． 8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半． 9．已知直线l1：y=4x和点P(6，4)，在直线l1上求一点Q，使过PQ的直线与直线l1以及x轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小． 10．求方程组的整数解． 二试题 1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段． 2．⑴ 分解因式：x12+x9+x6+x3+1． ⑵ 证明：对于任意角度θ，都有5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0． 3．设R为平面上以A(4，1)、B(－1，－6)、C(－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x，y)在R上变动时，函数4x－3y的极大值和极小值．(须证明你的论断) 4．设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、CA的中点分别为E、F、G、H，证明：四边形ABCD的面积≤EG?HF≤(AB+CD)· (AD+BC)． 5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i=1，2，…，10)个人的提桶需时Ti分钟，假定这些Ti各不相同，问： (Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断) (Ⅱ) 当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断) 6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断) 1978年全国高中数学竞赛题解答 一试题 1．已知y=log，问当x为何值时，(Ⅰ) y0；(Ⅱ) y0？ 解：当x－3时，y=log(x+3)， ⑴ x+31?x－2时，y0； ⑵ 0x+31，?－3x－2时，y0． 2．已知tanx=2 (180°x270°)，求cos2x，cos的值． 解：cos2x==－；cosx=－=－．cos=－=－． 3．设椭圆的中心为原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是－，求椭圆方程． 解：由已知c=b，故a=c，a－c=－=(－1)=c(－1)，∴ c=，a=． 所求椭圆方程为+=1． 4．已知方程2x2－9x+8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方． 解：设已知方程两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=4．所求方程两根为t1，t2， t1==，t2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=－16=． ∴ 所求方程为(x－)(x－)=0，即36x2－161x+34=0． 5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度． 解：边长为2的正四面体的高h=．故所求高度=1++1=2+． 6．如图，设线段AB的中点为M，从线段AB上的另一点C向直线AB的一侧引线段CD，令线段CD的中点为N，BD的中点为P，MN的中点为Q，求证：直线PQ平分线段AC． 证明：连NP，取AC中点O，则由于N、P分别为CD、BD中点，故NP∥AB，NP=BC=(AB－AC)=AM=AO=OM． ∴ NPMO为平行四边形．即PO经过MN中点Q．即直线PQ平分线段AC． 7．证明：当n、k都是给定的正整数，且n2，k2时，n(n－1)k－1可以写成n个连续偶数的和． 解：设开始的一个偶数为2m，则此n个连续偶数的和为(2m+…+2m+2n－2)×n÷2=n(2m+n－1)． 令n(n－1)k－1= n(2m+n－1)，则(n－1)k－1－(n－1)=2m． 无论n为偶数还是奇数，(n－1)k－1－(n－1