1985年全国高中数学联赛试题和解答.docVIP

1985年全国高中数学联赛试题 第一试 1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分) ⑴ 假定有两个命题： 甲：a是大于0的实数；乙：ab且a－1b－1．那么( ) A．甲是乙的充分而不必要条件 B．甲是乙的必要而不充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ⑵PQ为经过抛物线y2=2px焦点的任一弦，MN为PQ在准线l上的射影，PQ绕l一周所得的旋转面面积为S1，以MN为直径的球面积为S2，则下面结论中，正确的是( ) A．S1S2 B．S1S2 C．S1≥S2 D．有时S1S2，有时S1=S2，有时S1S2 ⑶ 已知方程arccos－arccos(－)=arcsinx，则( ) A．x= B．x=－ C．x=0 D．这样的x不存在． ⑷ 在下面四个图形中，已知有一个是方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(m≠0，n≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是( ) ⑸ 设Z、W、λ为复数，|λ|≠1，关于Z的方程－λZ=W有下面四个结论： Ⅰ．Z=是这个方程的解； Ⅱ．这个Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( ) A．只有Ⅰ、Ⅱ正确 B．只有Ⅰ、Ⅲ正确 C．只有Ⅰ、Ⅳ正确 D．以上A、B、C都不正确 ⑹ 设0a1，若x1=a，x2=a，x3=a，…，xn=a，……，则数列{xn}( ) A．是递增的 B．是递减的 C．奇数项递增，偶数项递减 D．偶数项递增，奇数项递减 二．填空题(本题满分24分，每小题6分) ⑴ 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若角A、B、C的大小成等比数列，且b2－a2=ac，则角B的弧度为等于 ． ⑵ 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非负整数解共有 组． ⑶ 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有 ． ⑷ 对任意实数x，y，定义运算x*y为x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数都有x*d=x，则d= ． 第二试 (本试共有4题，每题满分15分) 1．在直角坐标系xoy中，点A(x1，y1)和点B(x2，y2)的坐标均为一位的正整数．OA与x轴正方向的夹角大于45°，OB与x轴正方向的夹角小于45°，B在x轴上的射影为B?，A在y轴上的射影为A?，△OBB?的面积比△OAA?的面积大33.5，由x1，y1，x2，y2组成的四位数=x1?103+x2?102+y2?10+y1．试求出所有这样的四位数，并写出求解过程． 2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2．求平面B1EF与底面A1B1C1D1所成的二面角． 3．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队，根据比赛规则，比赛若干天后进行统计，发现除A市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问A市乙队已赛过多少场？请证明你的结论． 4．平面上任给5个点，以λ表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：λ≥2sin54?． 1985年全国高中数学联赛试题 第一试 1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分) ⑴ 假定有两个命题： 甲：a是大于0的实数；乙：ab且a－1b－1．那么( ) A．甲是乙的充分而不必要条件 B．甲是乙的必要而不充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解：由于ab且a－1b－1成立时，必有a0，b0．故由乙可得甲，故选B ⑵PQ为经过抛物线y2=2px焦点的任一弦，MN为PQ在准线l上的射影，PQ绕l一周所得的旋转面面积为S1，以MN为直径的球面积为S2，则下面结论中，正确的是( ) A．S1S2 B．S1S2 C．S1≥S2 D．有时S1S2，有时S1=S2，有时S1S2 解：设PQ与x