1990年全国高中数学联赛试题和详细解析.docVIP

(10月14日上午8∶00—10∶00) 一．选择题(本题满分30分，每小题5分) 1．设α∈(，),则(cos?)cos?，(sin?)cos?，(cos?)sin?的大小顺序是 A．(cos?)cos?(sin?)cos?(cos?)sin? B．(cos?)cos?(cos?)sin? (sin?)cos? C．(sin?)cos?(cos?)cos?(cos?)sin? D．(cos?)sin? (cos?)cos?(sin?)cos? 5．设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式+的值是( ) A．2－1989 B．－1 C．1 D．以上答案都不对 6．已知椭圆+=1(ab0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的( ) 二．填空题(本题满分30分，每小题5分) 1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则 +的最小值是 ． 2．设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是 ． 3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是 ． 4．对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+…+f(1990)． 5．设n=1990，则 (1－3C+32C－33C+…+3994C－3995C= ． 6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)． 三．(本题满分20分) 已知a，b均为正整数，且ab，sinθ=，(其中0θ)，An=(a2+b2)nsinnθ．求证：对于一切自然数n，An均为整数． 第二试 (10月14日上午10∶30—12∶30) 一．(本题满分35分) 四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点． 21世纪教育网E={1，2，3，……，200}， G={a1，a2，……，a100}E． 且G具有下列两条性质： ⑴ 对任何1≤ij≤100，恒有 ai+aj≠201； ⑵ ai=10080． 试证明：G中的奇数的个数是4的倍数．且G中所有数字的平方和为一个定数． 三．(本题满分35分) 某市有n所中学，第i所中学派出Ci名代表(1≤Ci≤39，1≤i≤n)来到体育馆观看球赛，全部学生总数为Ci=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下． 1990年全国高中数学联赛解答 第一试 一．选择题(本题满分30分，每小题5分) 1．设α∈(，),则(cos?)cos?，(sin?)cos?，(cos?)sin?的大小顺序是 A．(cos?)cos?(sin?)cos?(cos?)sin? B．(cos?)cos?(cos?)sin? (sin?)cos? C．(sin?)cos?(cos?)cos?(cos?)sin? D．(cos?)sin? (cos?)cos?(sin?)cos? 【答案】D 【解析】α∈(，)?0cosαsinα1， ∴ (cos?)cos?(sin?)cos?；(cos?)sin?(cos?)cos?；选D． 2．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式是( ) A．f(x)=x+4 B． f(x)=2-x C． f(x)=3－|x+1| D． f(x)=2+|x+1|F1、F2，左右顶点是M、N，若△PF1F2的顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是( ) A．在线段MN内部 B．在线段F1M内部或在线段NF2内部 C．点M或点N D．不能确定的 【答案】C 【解析】设内切圆在三边上切点分别为D、E、F，当P在右支上时，PF1－PF2=2a． 但PF1－PF2=F1D－F2D=2a，即D与N重合，当P在左支上时，