1989年全国高中数学联赛试题和详细解析.docVIP

一．选择题(本题满分30分，每小题5分)： 1．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则复数 z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA) 在复平面内所对应的点位于( )21世纪教育网A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．函数f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( ) A．(－π，π) B．[－π，π] C．(－π，π) D．[－π，π] 三．填空题(本题满分30分，每小题5分) 1．若loga1，则a的取值范围是 ． 2．已知直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l?⊥l，则l?与l的交点坐标为 ． 3．设函数f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)= |f1(x)－2|，y=f2(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是 . 4．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 ． 5．如果从数1，2，3，…，14中，按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足 a2－a1≥3，与a3－a2≥3， 那么，所有符合上述要求的不同取法有 种． 6．当s和t取遍所有实数时，则 (s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2 所能达到的最小值为 ． 三．(本题满分20分) 已知a1，a2，…，an是n个正数，满足 a1?a2?…?an=1． 求证：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n． 四．(本题满分20分) 已知正三棱锥S—ABC的高SO=3，底面边长为6，过点A向其所对侧面SBC作垂线，垂足为O?，在AO?上取一点P，使=8，求经过点P且平行于底面的截面的面积． 五．(本题满分20分) 已知：对任意的n∈N*，有an0，a=(aj)2．求证：an=n．35分) 有n×n（n≥4)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除（即总能表示成4k的形式，其中k∈Z）． 1989年全国高中数学联赛解答 第一试 一．选择题(本题满分30分，每小题5分)： 1．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则复数 z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA) 在复平面内所对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限21世纪教育网0°A、B90°A+B180°．故90°A90°－B0°，sinAcosB，cosAsinB． 故cosB－sinA0，sinB－cosA0．点Z位于第二象限．选B 21世纪教育网3．对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－l)与函数y=f(－x+l)的图象恒( ) A．关于x轴对称 B．关于直线x=l对称 C．关于直线x=－l对称 D．关于y轴对称 【答案】B 【解析】令x－1=t，则得f(t)=f(－t)，即f(t)关于t=0对称，即此二图象关于x=1对称．选B 5．若 M={z| z=+i，t∈R，t≠－1，t≠0}， N={z| z=[cos(arcsint)+icos(arccost)]，t∈R，|t|≤1}．21世纪教育网M∩N中元素的个数为 A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】M的图象为双曲线xy=1(x≠0，x≠1)N的图象为x2+y2=2(x≥0)，二者无公共点．选A． 三．填空题(本题满分30分，每小题5分) 1．若loga1，则a的取值范围是 ． 【答案】(0，1)∪(，+∞) 【解析】若0a1，则loga0，若a1，则得a．故填(0，1)∪(，+∞) 2．已知直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l?⊥l，则l?与l的交点坐标为 ． 【答案】（2，6） 【解析】直线l?方程为(x+10)－2y=0，解得交点为(2，6)． 3．设函数f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)= |f1(x)－2|