1992年全国高中数学联赛试题和解答.docVIP

1992年全国高中数学联赛试卷 第一试 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2?(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 2．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x?)(y?)=0 (C)(x+)(y?)=0 (D)(x?)(y+)=0 3．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，S，记λ=(Si)/S，则λ一定满足( ) (A)2λ≤4 (B)3λ4 (C)2.5λ≤4.5 (D)3.5λ5.5 4．在△ABC中，角A，B，Ca，b，c(b?1)，都是方程logx=logb(4x－4)的根，则△ABC( ) (A)是等腰三角形，(B)是直角三角形， (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形 5．设复数z1，z2A，B|z1|=4，4z12?2z1z2+z22=0O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12 6．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)=f(10?x)， f(20?x)?f(20+x)，则f(x)是(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数 二、填空题(每小题5分共30分) 1．设x，y，z3x，4y，5z，，成等差数列，则+的值是______． 2．在区间[0，?]cos7x=cos5x的解的个数是______． 3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_____． 4．设z1，z2|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7arg()3的值是______． 5．设数列a1，a2，?，an，?a1=a2=1，a32，且对任何自然数n， anan+1an+2?1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+?+a100的值是____． 6．函数f(x)= －的最大值是_____． 三、(20分)求证：1617． (20分)设l，ml上有A，B，CAB=BC，过A，B，Cm的垂线AD，BE，CFD，E，FAD=，BE=CF=l与m的距离． 五、(20分)设n是自然数，fn(x)= (x?0，1)，令y=x+． 1.求证:fn+1(x)=yfn(x)?fn-1(x)，(n1) 2.fn(x)= 第二试 一、(35分)A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置． 二、(35分) 设集合Sn={1,2,?,n}．若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集． 1．求证Sn的奇子集与偶子集个数相等． 2．求证：当n3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 3．当n3时，求Sn的所有奇子集的容量之和．三、(35分)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取6个格点Pi(xi,yi)(i1,2,3,4,5,6)满足 (1) |xi|≤2,|yi|≤2,(i1,2,3,4,5,6)，(2) 任何三点不在同一条直线上．试证：在以Pi(i1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于2． 1992(每小题5分，共30分) 1．对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2?(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 解：y=((n+1)x－1)(nx－1)，∴ |AnBn|=－，于是|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|=，选B． 2．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部