2.3.1向量数量积的物理背景和其含义.docVIP

课题 2.3.1 向量数量积的物理背景及其含义 通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件. .通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么? ②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？ ③我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论? 思路1.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由下式计算: W=|F||s|cosθ 其中θ是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念. 思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？ (1)(a+b)2=a2+2a·b+b2; (2)(a+b)·(a-b)=a2-b2. 已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即 a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π). 其中θ是a与b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°. 图2 (1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积; (2)零向量与任一向量的数量积为0,即a·0=0; (3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替; (4)当0≤θ时cosθ0,从而a·b0;当θ≤π时,cosθ0,从而a·b0.与学生共同探究并证明数量积的运算律. 已知a,b,c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a·b=b·a(交换律); ②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律); ③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0. (2)已知实数a、b、c(b≠0),则=bca=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c. (3)对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立. 讨论结果:①是数量,叫数量积. ②数量积满足a·b=b·a(交换律); (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律); (a+b)·c=a·c+b·c(分配律). ③(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b) =a·+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2; (2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2. 在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意: .提出问题 ①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？ 如图4. 图4 定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量; 2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|. 教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积. 让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量. 1°e·a=a·e=|a|cosθ. 2°a⊥ba·b=0. 3°当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|. 特别地a·a=|a|2或|a|=. 4°cosθ=. 5°|a·b|≤|a||b|. 向量的数量