2001年全国高中数学联赛试卷1试答案.docVIP

2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 选择题： 1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 二．填空题： 7． 8． 9． 10． 11． 12． 732 三．解答题： 13．设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得 化简得： 解得： ……………………………………………………… 5分 而，故a1＜0 若，则 若，则 ……………………………… 10分 但存在，故| q |＜1，于是不可能． 从而 所以 ……………………………… 20分 14．解：(1)由 消去y得： ① 设，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根． 只需讨论以下三种情况： 1°△＝0得：，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合； 2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a； 3°f (－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合． f (a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a． 综上可知，当0＜a＜1时，或－a＜m≤a； 当a≥1时，－a＜m＜a．……………………………………………… 10分 (2)△OAP的面积 ∵0＜a＜，故－a＜m≤a时，0＜＜a， 由唯一性得  显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝取值最大，此时，∴． 当时，xp＝－a2，yp＝，此时． 下面比较与的大小： 令，得 故当0＜a≤时，≤，此时． 当时，，此时．……… 20分 15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG，当R i＝a i，i＝3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小 …………………………………………………… 5分 证明如下： 1．设当两个电阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R，则．故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1＞R2． 2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB  显然R1＋R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的—个． 3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD   若记 ，则S1、S2为定值，于是 只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜Rl，即得总电阻的阻值最小 ………………………………………………………………………… 15分 4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小． 而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1， 这就说明，要证结论成立………………………………………………………………20分 2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准 一．证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆 ∴∠BDF＝∠BAC 又∠OBC＝(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC ∴OB⊥DF． (2)∵CF⊥MA ∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE⊥NA ∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA⊥BC ∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB⊥DF ∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC⊥DE ∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ …………………………………… 30分 ①－②＋③＋④－⑤，得 NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2 ∴OH⊥MN …………………………………………………………………… 50分 另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系， 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则  ∴直线AC的方程为，直线BE的方程为 由 得E点坐标