§2矢量的表示与其应用.doc

§2　矢量的表示及其应用 1．矢量的直角坐标表示 利用直角坐标系我们可以用有顺序的一对数字表示矢量。如图5－12所示，引进坐标系oxy后，矢量就可以用它的终点坐标（x,y)来表示。这样。矢量运算就可以通过数量运算来进行。 矢量的相加（或相减），就是相应的坐标相加（或相减），如图5－13所示。 用表示矢量，用表示矢量，则： 如果K取一切正数，则就表示一条过原点的直线（图5－14） 2．矢量的三角函数表示 图5－15（甲）所示，单位矢量OM，其长度为1，则，即sinθ、cosθ可看成单位矢量在特定状态下（矢量和OX轴的夹角是θ时）在X轴上的投影。 如果矢量的长度不是1而是ρ（图5－15乙），那么它的纵坐标是，横坐标是，这样矢量就可以写成三角函数式。 在解决实际问题时，我们又常常把一个矢量沿相互垂直的坐标轴分解，或者用“一个矢量在另一个矢量的投影”这样的语言。如图5－16所示，将矢量沿X轴和Y轴分解，和是矢量在X轴和Y轴方向上的分矢量，因为坐标轴的方向已确定，所以分矢量和只要用数值和和正负号就可以把它们的大小和方向完全表示出来。这样我们就可以省去矢量符号而简单地把它们写成AX和AY，AX和AY叫做分量，显然： 由于分量是标量而不是矢量（分量的正负表示分矢量的方向跟指定的方向相同或相反）因此，在X轴和Y轴方向上运算时，就可以把矢量运算转化为代数运算或三角运算。 图5－17中的是矢量在矢量上的投影，的大小（ON）是的大小（OA）乘上和的夹角的余弦。即。 3．矢量的复数表示 如图5－18所示，我们以X轴为实轴，y轴为虚轴，这两个坐标轴组成复平面，每个复数（）都可用复平面上的一个点M表示（这个点的横坐标为a，纵坐标是b）也可以用连接为O、M的有向线段（O为起点，M为终点（即矢量来表示） 因此，矢量可以写成复数表示式：（复数的实部与虚部相当于矢量的x, y的分量） 同样利用三角函数，矢量还可写成复数的三角函数式： 由图5－18可见，矢量的长度为： 称为复数的模，由X轴转到矢量的角度称为幅角。 此外利用数学上的尤拉公式：，复数又可写成为指数形式： 必须指出：复数虽然是“一个数”，但具有“大小”和“方向”这两个要素，因此我们把复数作为描写矢量或刻划只有大小和相位的数量（如谐振量）的工具。 例5－5用计算法解例4－7。例4－7　水流向东，速率为2km/h，汽船以8km/h的航速在向东偏北600的方向航行。一位旅客在甲板上散步，速度为1km/h，面向正西北。求旅客对岸的速度。 解：令X轴指向正东，Y轴指向正北，建立直角坐标系oxy，将各速度矢量的起点移至坐标原点，作矢量图（图5－19）用表示矢量，用表示矢量，用表示矢量。依速度合成规律，有： ∴ V水对岸与X轴所成的夹角为：向东偏北。 例5－6在加速行驶的火车上固定一斜面，斜面倾角为θ（图5－20），有一物体静止在斜面上，如果火车的加速度小于某一值a0,物体就会下滑。设物体和斜面间的静摩擦因数为μ0，推导a0的表达式。 解：选斜面上的物体为研究对象，物体受三个力的作用：重力mg，竖直向下；斜面对它的支持力N，与斜面垂直向上，静摩擦力f，沿斜面向上（当加速度为a0时，有最大静摩擦力） 解法一：选取加速度a0的方向为X轴正向，与之垂直的方向为Y轴方向建立直角坐标系。将mg、N、f沿X、Y两个方向分解（见图5－21）得： 根据牛顿第二定律有： 即：　……　　（1） 　　……　　（2） 解（1）、（2）两方程得： 解法二： 斜面是物体的支承面，取沿斜面方向和垂直斜面方向为直角坐标系的方位，将N、mg、f进行分解（见图5－22），得：　　　 根据牛顿第二定律有： 即： 解（1）、（2）两式得： 说明：本例是在分析物体受力情报基础上，根据力的独立性作用原理（每个力都能各自独立产生相应的效应的效果），在受力体的适当的位置建立直角坐标系，把所有作用于物体上的外力沿两条互相垂直的坐标轴分解，然后利用代数方法将各分量叠加（各分量的正负由坐标轴的取向决定），最后依据牛顿第二定律列出方程。 在X轴方向上： 在Y轴方向上： 上述方法称为正交分解法，其主要优点在于：将力和加速度的矢量运算转化为代数运算。若要求合力F，则，，F合与X轴的正向的夹角，这样就可用直角三角形色股定理替换三角形的余弦定理进行计算。 正交分析法在解决动力学问题中有重要作用。坐标轴的选取需根据物体的运动的特点，一般取加速度方向和垂直于加速度方向（或沿运动方向和垂直于运动方向）。 例5－7如图5－23所示，金属矩形框架放在水平位置上，可动边cd可在框架上无摩擦地滑动。已知cd的质量m=0.05kg，边长L＝0.50m,匀强磁场的B＝0.50T,方向斜向上与框架平面成150且与线框边AB，