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2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷 一． 选择题（共6小题，每题6分） 1．设，求的值为 （A） （B） （C） （D） 答： 【 】 2．若，则的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 答： 【 】 3．设，，，，上述函数中，周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答： 【 】 4．正方体的截平面不可能是 (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形 下述选项正确的是： (A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【 】 5．已知，是两个相互垂直的单位向量，而，，。则对于任意实数，的最小值是 (A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答： 【 】 6．设函数满足，则方程根的个数可能是 (A) 无穷多 (B) 没有或者有限个 (C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 答： 【 】 二．填空题（共6小题，每题9分） 7. 设，，求 = 。 已知数列，满足, 且， 则= 。 设函数，则 。 设命题 P: 和命题Q: 对任何，有且仅有一个成立，则实数的取值范围是 。 在轴的正方向上，从左向右依次取点列 ，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使（）都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 。 三. 解答题 14.（20分）设，定义 ， 1）求的最小值； 2）在条件下，求的最小值； 3）在条件下，求的最小值， 并加以证明。 15.（20分）在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？ 2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷答案 一 选择题 C D B B C D 二 填空题 7. 8. 9. 10. 11. 2005 12. 100π － 200 以下是详细解答 一． 选择题 1．设，求的值为 （A） （B） （C） （D） 答： 【 C 】 【解】： 令 得 ； （1） 令 得 ； （2） 令 得 ； （3） （2）＋（3）得 ， 故 ， 再由（1）得 。 选 【 C 】 2．若，则的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 答： 【 D 】 【解】：设 ， 。 又由 ，故 。 因此有 ，即 由于，所以有 ，即。 选 【 D 】 3．设，，，，上述函数中，周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答： 【 B 】 【解】： 是以任何正实数为周期的周期函数； 不是周期函数。 因为是以为周期的周期函数, 是以为周期的周期函数, 而与之比不是有理数，故不是周期函数。 不是周期函数。因为是以为周期的周期函数, 是以为周期的周期函数, 而，故是周期函数。 不是周期函数。 因此共有2个周期函数。