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2005年高二数学竞赛试题 　　　　　　　　　　　　　　　（命题人：杨坤　24/12/2005） 班级：＿＿＿＿＿　姓名：___________　　　　　时间：100分钟 1、设实数x、y、z，且x+y+z=1,则最小值是( ) A、42 B、54C、36 D、27 2、若,则下列结论不正确的是（　　　　） A、 B、 C、 D、 3、若圆有且仅有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（　　） A、（4,6）　B、[4, 6 ）C、（4,6 ］D、［4,6］ 4、不等边三角形ABC 三个内角所对边分别为a、b、c，且lgsinA、lgSinB、lgSinC成等差数列，则直线x.sin2A+ysinA=a 与x.sin2B＋ysinC=c的位置关系是（　　　） A、平行　B、垂直　　C、重合　　D、相交但不垂直 5、坐标平面上整点到直线y=的距离中的最小值是（　　　） A、　B、　C、　　D、 6、一直线过点（-a , 0）(a0)，分割第二象限得一三角形区域，此三角形区域面积为T，则直线方程为（　　） A、2Tx-a2y-2aT=0 B、2Tx+a2y-2aT=0 C、2Tx-a2y+2aT=0 D、2Tx+a2y+2aT=0 7、圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线x+y=2对称的充要条件是（　　） A、D＋E＋2＝0　　B、D＋E＝4　　C、D＋E＝2　　D、D＋E＋4＝0 8、x、y满足则Z＝的取值范围是（　　） A、［-1, ］，B、［－，）C、［－1，－］D、［－，1) 9、平面直角坐标系中，O为原点，A（cosa,0）B(0,sina),若点m(x,y)满足 ，则M点轨迹是（　　） A、椭圆　B、直线　C、双曲线　D、圆 10、方程有两个不相等实数根，则k的范围是（　　） A、　B、　C、D、 11、椭圆的四个顶点为A、B、C、D、若四边形ABCD内切圆恰好过焦点，则椭圆离心率为（　　） A、　B、C、　D、 12、已知双曲线和椭圆离心率互为倒数，则以a、b、m为边长的三角形是（　　） A、锐角三角形　B、Rt三角形C、钝角三角形　D、锐角或钝角三角形 13、我们将离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”，设为优美椭圆，F、A分别为它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则等于（　　　） 14、一束光线从点A（－1,1）出发，经x轴反射到圆C：（x-2）2+(y-3)2=1上最短路程是________________ 15、RtAOB中，，|OA|=8,|OB|=6,点P为它内切圆C上任一点，则P到顶点A、B、O距离的平方和的最小值为________________ 16、椭圆上有几个不同点：P1　，P2　，　P3　，P4………Pn　，椭圆的右焦点为F，数列｛｜PnF｜｝是公差大于的等差数列，则n的最大值为＿＿＿＿＿＿＿ 17、双曲线（1－a2）x2+a2y2=a2(a1)上一支顶点为A，上支与直线y=-x交于P点 ,以A为焦点，M（0，m）为顶点，且开口向下的抛物线经过P点，设直线PM斜率为k，当k∈[]时，求a的取值范围。 18、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R,a≠0)满足条件： （1）当x∈R时,f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x; (2)当x∈(0,2)时，f(x)≤; (3)f(x)在R上的最小值为0； 求最大的m（m＞1），使得存在t∈R,只要x∈R［1，m］，就有f(x+t)≤x 19、某机器人从坐标原点出发，在直角坐标平面xoy的第一象限、x正半轴及y正半轴的范围之内运动，该机器人在x轴正半轴上的运动速度是2m/s，在平面及其它地方的运动速度是1m/s，该机器人从原点O出发，在1m/s内能到达的点的集合所形成的图形记为G，将G的边界位于第一象限的部分记为C　。 （1）求曲线C的轨迹方程。 （2）求图形G的面积。 20、一张纸上画有半径为R的☉O和圆内一定点A，且OA＝a，折叠纸片，使圆周上某一点A’刚好与点A重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A’取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。