2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题评分标准.docVIP

2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准 选择题 1. C 2. C 3. D 4. B 5. C 6. B 填空题 7. 8. n 9. 10. 11. 12. 详细解答如下： 一. 选择题 1.下列三数的大小关系正确的是（ C ） （A） （B） （C） （D） 解： 因为 ， 。 令，则。又因为，所以 。 再令，则，而，所以 。 综上所述，有 。 因此 选 （C）。 2. 已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是，则满足条件的直线L共有（ C ）条分别以A，B为圆心，，为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C。 3. 设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 。记，，则＝（ D ） (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. 解： 将记做，于是有 从16开始，是周期为8的周期数列。故 正确答案为D。 4. 设在平面上，，所围成图形的面积为，则集合 的交集所表示的图形面积为（ B ）。 (A) (B) (C) (B) . 解： 在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，的图形在第一象限的面积为A＝。因此的图形面积为。 所以选（B）。 5. 在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ C ）。 (A) 2006 (B) (C) (D) . 解： 正2n边形，对角线共有 条。 计算与一边平行的对角线条数，因，与平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C。 6. 函数在时的最小值为（ B ）。 (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 解： （由调和平均值不等式） 要使上式等号成立，当且仅当 （1）－（2）得到，即得。因为， 所以当时，。所以 因此应选（B）。 二. 填空题 7. 手表的表面在一平面上。整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点i到整点（i＋1）的向量记作，则＝ 。 解：连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正12边形。相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角，为30度。各边向量的长为 。 则。共有12个相等项。所以求得数量积之和为 。 8. 设且 则对任意， n 。 解： ， 所以， 9 在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 解： 三个数成递增等差数列，设为 ，按题意必须满足 。 对于给定的d，a可以取1，2，……，2006-2d。 故三数成递增等差数列的个数为 三数成递增等差数列的概率为 。 10. 设是非零实数，，若则 。 解： 已知 ……………… （1） 将（1）改写成 。 而 。 所以有 。 即, 也即 将该值记为C。则由（1）知， 。于是有，. 而。 11. 已知 , 。若为单元素集，则。 解 由 为单元素集，即直线与相切，则. 12. = 。 解：设，则 ，,，即有 ，，。所以有 . 于是可得 ，且当时，. 因此 . 解答题 13. 在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切（），且动圆与轴相切，求 （1）动圆的圆心轨迹方程L; （2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。 解：（1）由可得 由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为, 则有 整理得到动圆圆心轨迹方程 。 ……………………（5分） 另解 由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程 ，即…………………（5分） （2）联立方程组 ① ② 消去得 ， 由 整理得 ③ 从③可知 。 故令，代入③可得 再令，代入上式得 …………………（10分） 同理可得，。可令代入③可得 ④ 对④