2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题.docVIP

2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷 一、选择题 1、下列三数的大小关系正确的是　（ ） A、　 B、　 C、 　D、 2、已知两点A（1,2），B（3,1）到直线L距离分别是，，则满足条件的直线L共有（ ） A、1条 B、2条 C、 3条 D、 4条 3、设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 。记，，，则（ ） A、20 B、4 C、42 D、145 4、设在平面上，，所围成图形的面积为，则集合 的交集所表示的图形面积为（ ） A、 B、 C、 D、 5、在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ ）。 A、2006 B、 C、 D、 6、函数在时的最小值为（ ）。 A、2 B、4 C、6 D、8 二、填空题 7、手表的表面在一平面上。整点这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点到整点的向量记作，则＝ 。 8、设且，则对任意 。 9、在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 10、设是非零实数，，若，则 。 11、已知， 。若为单元素集，则 。 12、 。 三、解答题 13、在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切，且动圆与轴相切，求 （1）动圆的圆心轨迹方程； （2）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求之值。 14、已知数列满足 ，满足， ，证明：。 15、六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子。问 1）共有多少种不同的骰子； 2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差。在所有的骰子中，求的最大值和最小值。 2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准 选择题 1. C 2. C 3. D 4. B 5. C 6. B 填空题 7. 8. n 9. 10. 11. 12. 详细解答如下： 一. 选择题 1.下列三数的大小关系正确的是（ C ） （A） （B） （C） （D） 解： 因为 ， 。 令，则。又因为，所以 。 再令，则，而，所以 。 综上所述，有 。 因此 选 （C）。 2. 已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是，则满足条件的直线L共有（ C ）条分别以A，B为圆心，，为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C。 3. 设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 。记，，则＝（ D ） (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. 解： 将记做，于是有 从16开始，是周期为8的周期数列。故 正确答案为D。 4. 设在平面上，，所围成图形的面积为，则集合 的交集所表示的图形面积为（ B ）。 (A) (B) (C) (B) . 解： 在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，的图形在第一象限的面积为A＝。因此的图形面积为。 所以选（B）。 5. 在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ C ）。 (A) 2006 (B) (C) (D) . 解： 正2n边形，对角线共有 条。 计算与一边平行的对角线条数，因，与平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C。 6. 函数在时的最小值为（ B ）。 (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 解： （由调和平均值不等式） 要使上式等号成立，当且仅当 （1）－（2）得到，即得。因为， 所以当时，。所以 因此应选（B）。 二. 填空题 7. 手表的表面在一