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2007年高中数学竞赛综合训练题10.12 姓名 得分 一、选择题 1．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ） A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形 C．是钝角三角形，是锐角三角形 D．是锐角三角形，是钝角三角形交双曲线于P、Q两点，其中P点在第二象限，现将上、下两个半平面沿轴折成直二面角，此时，点P的位置落到点上，则线段的最短长度是 ( ) A. B. C. D. 4 3．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α ( ) A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个 4．已知S 是由n(n≥3)个正整数组成的集合。若S中存在三个不同的元素可构成三角形的三边，则称S为“三角数集”，设有连续正整数组成的集合{4，5，6，…,m},它的所有10元子集都是三角数集，则m的最大值可能是（ ） A．1003 B. 503 C. 253 D. 103 5．若对任意的长方体A，都存在一个与A等高的长方体B，使得B与A的侧面积之λ，则λ的取值范围是( ) (A) λ0 (B)0λ≤1 (C) λl (D) λ≥l满足：对于实数的某些值，可以找到相应正数，使得的定义域与值域相同，那么符合条件的实数的个数是 7．对于一切实数，不等式恒成立，则的取值范围是　　　　　　 8．将等差数列{ an }：an=4n-1中所有能被3或5整除的数删去后，剩下的数自小到大排成一个数列{ bn}，则的值为 9．在双曲线﹣=1的一支上不同三点，A、B(,6)、C与焦点F(0，5)的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线l经过定点. 10．数列{an }称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0，{an+1-qan }构成公比为 q的等比数列．q称为此等差比数列的差比．那么，由100以内的自然数构成等差比数列 而差比大于1时，项数最多有项．已知在三棱锥SABC中，SCCB，AB，CBAB，并且、与△ABC所AC=6，S到平面ABC的距离为4，则异面直线AC与SB之间 设圆：直线点使得存在点使(为坐标原点),则的取值范围是整数列u0，u1，u2，u3，…满足u0=l，且对于每个正整数n，有un+1un-1=kun,这里k是某个固定的正整数．如果u2000=2000，求k的所有可能的值． 、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值． 3．设集合A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合： ①对任意，都有 ； ②存在常数，使得对任意的， 都有 试解答下列问题： (Ⅰ)设，证明： (Ⅱ)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的; (Ⅲ)设,任取,令证明：给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式 满足：对于实数的某些值，可以找到相应正数，使得的定义域与值域相同，那么符合条件的实数的个数是（ ） A．1个 B． 2个 C． 3个 D．不存在 时， (b＞0) 的定义域与值域都是 当时，的定义域是≥0的解集，即为，但由于它的值域不含负数，故必＜0， 此时值域为 所以，所以有两个值0和－4。 2．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ） A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形 C．是钝角三角形，是锐角三角形 D．是锐角三角形，是钝角三角形 解：的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，，所以是钝角三角形。故选D。 交双曲线于P、Q两点，其中P点在第二象限，现将 上、下两个半平面沿轴折成直二面角，此时，点P的位置落到点上，则线段的最短长度是 ( ) A. B. C. D. 4 D 解：设直线方程为.由 得， 过作⊥于，连，则⊥，得△为直角三角形. ∴ , , , ∴ 当，（取负数）时，，这时直线方程为。 4．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形