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2008年交大冬令营数学试题2008.1.1 一．填空题 1．，，则． 2．的最大值为__________． 3．等差数列中，，则前项和取最大值时，的值为__________． 4．复数,若存在负数使得，则． 5．若，则． 6．数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和． 7．……中的系数为． 8．数列，，，，，，，，此数列的通项公式为． 9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为． 10．若曲线 与 的图像有3个交点，则． 二．解答题 1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为． （１）是否有可能比高？ （２）和是否可能相等？ 2．已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结论． 3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级． （１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线． 问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？ （２）若不考虑中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？ 4．通信工程中常用n元数组表示信息，其中或1，．设，，表示和中相对应的元素不同的个数． （１）问存在多少个5元数组 使得； （２）问存在多少个5元数组 使得； （３）令，，， 求证：． 5．曲线与圆交于两点，线段的中点在上，求． 2008年交大冬令营数学试题2008.1.1 一．填空题 1．，，则．2 2．的最大值为__________． 3．等差数列中，，则前项和取最大值时，的值为__________．20 4．复数,若存在负数使得，则． 5．若，则． 6．数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和． 7．……中的系数为．3921225 8．数列，，，，，，，，此数列的通项公式为． 9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为． 10．若曲线 与 的图像有3个交点，则． 二．解答题 1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为． （１）是否有可能比高？ （２）和是否可能相等？ 不可能 若为同一人，有 若在同一行、列，则均有 若不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记所在列与所在行相交的人为。 因为为列最矮的人，所以有； 又因为为列最高的人，所以有； 于是有。 综上，不可能有 有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为，如图2所示： 此时有2．已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结论． 没有法一： 无实数根， ； ． ． ． ． 于是有或； 。 故均不存在实数根。 法二：若，则， 于是 ； 若，则， 于是 ； 所以没有实数根。3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级． （１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线． 问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？ （２）若不考虑中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？ 乙专家 若中国队得10分，则可能出现其余三队12分、10分、10分的情况，以澳大利亚12分，，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。 澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分 澳 3 0 3 0 3 3 12 中 0 3 1 3 0 3 10 卡 0 3 1 0 3 3 10 伊 0 0 3 0 0 0 3 假设中国队得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。而四队总分36分时不能出现一场平局，而11不是3的倍数，故出线平局，矛盾！ 所以中国队得11分可以确保出线。 若中国队得12分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。 澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分 澳 3 0 3 0 3 3 12 中 0 3