微积分学习与练习(+公式.doc

一、考题重点内容分析 重基础，全面学习 无论是为了学好还是为在考试中取得理想成绩，都应当全面学习、全面复习。 下面就（一）微积分的主要考试题目进行分析： 【例一】 考题（一）（5） A． B．2 C．3 D．4 分析：①学员需要知道是奇函数，所以有： ②要求学员根据定积分的几何意义知道：是半径为R的上半圆的面积，所以有： ∴ ∴ 应选A。 【例二】 考题（一）（3） A．0 B．1 C．e D．不存在 分析：①首先，要求学员知道x→0时，tanx～x。 ②要求学员掌握微积分基本定理： ③要求学员掌握第二个重要极限 ④要求学员掌握罗必达法则 ∴ ∵tanx～x 选C。 【例三】 考题（三）（18）计算 分析：①要求学员熟记积分表： ②要求学员熟记积分表： ∴ 【例四】 考题（三）（22）计算 分析：①需要学员掌握三角函数的倍角公式： ∴ ②需要学员熟记微分公式： ③需要学员掌握分部积分公式： ④需要学员熟记积分表： ∴ 主要内容反复练习 高数（一）微积分无论从学习还是从考试的角度看，最主要也是最核心的内容是一元函数的微分学和积分学及其应用：一方面是这部分内容占考分的70%；另一方面是这一部分内容掌握好了，其他内容特别是多元微积分部分就迎刃而解了。 【例五】 考题三（17），求 分析：这是一道多次复合而成的函数的导数问题，只要关于复合函数的导数经过反复训练，经过多次复合函数导数公式便可容易得到结果，请看： 【例六】 考题三（16） 计算 分析：本题虽然是未定式型，但不宜用罗必达法则，但在教材的例题和作业中，经常利用公式变形后计算，所以有： 【例七】 计算定积分 分析： 解法一： ①需要学员熟记积分公式： ∴ ②需要学员知道完全平方公式： ∴ 解法二：①部分分式需要学员知道： ②学员应熟记积分公式： ∴ 【例八】 考题三（21） 求dy 分析：本题是只有一次复合而生成的函数，直接用复合函数导数公式即可 【例九】 考题四（24） （a＞0），y=0，x=1所围图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为，求a。 解： ∴ ∴ (舍去) 【例十】 考题三（23） D是x=1，y=2，y=x-1所围区域 求 解：因为对y积分原函数不是初等函数，所以应先对x积分 D：0≤y≤2，1≤x≤1+y ∴ = 【例十一】 考题三（20）确定 解：∵ ∴ ∴ 上面所列考题，都是教材和作业中常见的练习题和例题的类型题，只要考生在学习过程中反复练习，就不会感到生疏或困难。建议考生将教材中的练习做过一遍以后，过两周再重做一遍，考前再做一遍，通过考试就会有较大把握。 如今社会上的辅导材料太多，有的并不完全符合考试要求，建议考生还应以教材为主，学习之余感到教材练习已做得很熟练后，再考虑看参考辅导材料。有个别考题，未见得在教材或习题中见过，不要因为试卷中有个别偏题，就盲目到处找辅导材料。其实任何一份考试题都会有个别题目难度偏大，并不为怪，例如在1995年4月高数（一）的考题中的证明题五（25）就比较困难。 例如 考题五（25） 已知f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f(0)=0，证明存在C∈(0，1)，使得 本题明显和微分中值定理有关系，需要用微分中值定理证明，如果直接做，则有 f(0)=0，但f(1)不知道，立即就出现问题和困难，习惯是引入一个新函数，对于大多数学员来说，如何引进新函数是比较困难的，在本题中，因为f(1)不知道，因此新函数中不应出现f(1)，因此，令 F(x)=(1-x)f(x) ∴ F(x)在[0，1]上连续，且在(0 ，1)内有 由于F(1)=0，F(1)=0 由罗尔中值定理，存在C∈(0，1)，使 ，即 ∴ ∴ 随时总结知识，记忆积分表 考生一定要对学过的知识进行总结，使知识系统化并掌握其中的要点。 例如，学过不定积分的概念和计算方法以后，可以小结如下： （Ⅰ）不定积分的概念 （Ⅱ）不定积分的性质 （Ⅲ）基本积分表 特别情形： 特别情形： 由于不定积分难度较大，最好多记一些积分表大有好处。 例如，根据公式（20）和（26）便有： 根据公式（25）和（27）便有： 根据公式（23）和（27）便有： （Ⅳ）换元积分公式（一）凑微分法 常见情形有： 此外，还需注意： （Ⅴ）换元积分法（二） ∴ 常