中心极限理论与其意义.doc

题目：中心极限定理及意义 课 程 名 称： 概率论与数理统计 专 业 班 级： 成 员 组 成： 联 系 方 式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。 关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差，则随机变量之和的标准化变量， 的分布函数对于任意满足， 　　　　 　 2.李雅普诺夫定理 设随机变量相互独立，它们具有数学期望和方差 ， 记 ．　 若存在正数，使得当时， ， 则随机变量之和的标准化量化， 的分布函数对于任意满足， 3.棣莫弗—拉普拉斯定理 设随机变量服从参数为的二项分布，则对于任意，有 二、中心极限定理的意义： 首先，中心极限定理的核心内容是只要n足够大，便可以把独立同分布的随机变量和的标准化当作正态变量，所以可以利用它解决很多实际问题，同时这还有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实，从而正态分布成为概率论中最重要的分布，这就奠定了中心极限定理的首要功绩。其次，中心极限定理对于其他学科都有着重要作用。例如数理统计中的参数（区间）估计、假设检验、抽样调查等；进一步，中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明只要样本容量足够地大，得未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位n个风险单位的随机样本的平均损失符合正态分布，这个结论对保险费率的厘定极为重要。保险公司各险种的交费标准是经过精算后以同期银行利率比照制定的，所以在此基础上应尽可能地多承保风险单位，也就越可能有足够的资金赔付保险期内发生的所有索赔，从而使保险公司的运营更加平稳，也就越有利于投保人或被保险人. 既然可利用中心极限定理能合理地厘定保险费率，为何老年人投保一再被提高门槛呢？京江晚报3月28日就有报道“对保险公司来说，老年人属于高风险人群，存在的不确定因素较多，老年人发生医疗费用支出和意外事故的风险要比年轻人大。所以，从赔付率的角度考虑，保险产品在推出前会经过精密测算，设置相应的年龄门槛和不同的缴费标准对中老年人提门槛 单个人的保费（元）=0.1 单个人的保费（万元）， 赔付额=。 不同年龄的总保费及赔付额 表2 单位：万元 年龄 25 26 27 28 29 61 62 63 64 65 总保费 1.8 1.8 1.8 1.8 1.9 21.5 23.5 25.7 28.1 30.8 赔付额 0.95 0.93 0.92 0.92 0.93 14.9 16.4 18.0 19.7 21.7 由于计算中假定每个年龄的投保数相同，而老年人的死亡率比年轻人高，则导致赔付额的基数较大，所以还不能很好的解释问题，这里再引入赔付率（赔付率=赔付额/总保费），得出表3。 各年龄的赔付率