数学建模之微积分的应用.docx

PAGE6 / NUMPAGES6 微积分的应用 1.跳伞运动员由静止状态向地面降落，人和伞共重161磅（1磅=0g），在降落伞张开以前，空气阻力等于 v2 ，在开始降落5s后降落伞张开，这时空气阻力为 v22 ，试求降落伞张开后跳伞员的速度v(t)，并讨论极限速度。 问题分析：本题题目比较好懂，只要理解阻力的速度的关系，再根据物理关系进行列方程即可求解。所以问题主要在于模型的建立于求解。具体解题过程如下。 分析求解从t=0到t=5s之间跳伞员的运动状态 由已知可得空气阻力f=v/2，故根据力学知识可以得到如下方程： mg-f=ma 即 mg-v/2=m dvdt 此为一元微分方程。由高数知识，先解该方程对应的齐次微分方程 -v/2=m dvdt dvv=-dt2m 两边同时积分 v0vt dvv=0t-dt2m 得 vt=v0*e-t2m 由常数变异法令 vt=h(t)*e-t2m 则 vt’=h(t)’*e-t2m + h(t)*(-12m) *e-t2m 带回原方程得：h(t)’=g*e-t2m h(t)=2mg*e-t2m+C (C为常数) 所以 vt=ht*e-t2m = (2mg*e-t2m+C) *e-t2m 又 v0= 0，所以C= -2mg 所以 vt= = 2mg(1-e-t2m)带入数值，t=5s，则可得到v5=48.17m/s。 且由方程的解的表达形式，利用MATLAB可以得到如下v-t曲线。 由于该曲线是在5s内的，则e-t2m随t的变花近似为线性的，所以看起来近似直线，实际则不是的。 分析求解从t=5s到t=t之间跳伞员的运动状态 同以上的分析过程，可以列出在该时间段内的方程： mg- v22 =m dvdt 即 dv dt=2mg-v22m dv2mg-v2=12mdt 令2mg=a，对上式两边同时积分得： v5vtdva2-v2=5t12mdt 查的积分表公式，上式继续得到： v5vtdva2-v2=12av5vt1a-v+1a+vdv=12alna+vta-vt*a-v5a+v5=t-52m 直接对该式进行定性分析： 如果不考虑跳伞员的高度问题，当t ∞时，上式右边 ∞,所以可以得到绝对值部分为无穷大； 所以有vt=a=2mg=37.826 m/s 。 此即为该跳伞员的极限速度。 同样，利用MATLAB程序作vt- t图如下所示。 由图像同样可以得出结论：跳伞员最后的速度将达到以定值，约为37.826 m/s，即为其极限速度。 2.测定考古发掘物年龄最精确的方法之一，是大约在1949年W .Libby发明的碳-14(14C)年龄测定法，其主要原理是利用考古物木炭样品中的放射性碳的原子衰变速度与现在木炭样品中的14C的衰变速度的差异，来测定考古物的年代，设R(0)是样品形成时14C的衰变速度，通常用活树中的木炭样品的衰变速度代替，其14C的衰变率平均为R(0)=6.68个/(g*min)。设R(t)是考古物木炭样品现在的14C的衰变率，则由 dN(t)dt=-λN(t)，N(0)=N0 可得到考古物年代的计算公式 t=1λlnR(0)R(t) 其中λ是衰变常数，14C的半衰期是T=5568年，而λ=ln2T，利用上述方法解决下列问题： （1）1956年，发现的考古物中，测得每克木炭没分钟14C的平均衰变数位3.06，试估计遗址的年代。 （2）70年代中期发现考古物中14C是初始值的78%，试估计古墓的年代。 问题分析：本题比较简单，只要读懂题意，直接利用所给数学模型即可进行求解，集体过程如下。 由已知直接带入数值： t1=1λlnR(0)R(T)=5568ln2ln6.683.06=6271（年） 1956-6271=-4315 即该古墓的年代约为公元前4315年。 由已知得： dN(t)dt=-λN(t) dNt=-λN(t)dt 两边同时积分： N00.78N0dN(t)N(t)=0t2-λdt 则 ln0.78=-λt2 t2=1996 1975-1996=-21 即该古墓的年代约为公元前21年。 3.17世纪末到18世纪初，牛顿发现在较小的温度范围内，物体冷却速率正比于该物体与环境的温差，因而得到下面的冷却模型 dTdt=-k(T-C) T(0)=T0 式中：T(t)为物体t时刻的温度，C是环境温度，k为正的常??，T0为物体在t=0时刻的温度，其解为 T(t)=( T0