高等数学基本知识点及例题(第2学期).doc

高等数学基本知识点及例题 一、导数与积分公式表 导数公式： 基本积分表： 重要定积分公式： 第一单元 空间解析几何与向量代数 1.空间直角坐标系 设和为空间两点,则 两点间的距离: . 使的分点的坐标为: . 2.向量的模、方向余弦、单位向量 向量的模: . 向量的方向余弦: . 与同方向的单位向量: . 例1 设,,.这三个力作用于点，它们的合力为，求：（1）点的坐标．（2）的大小．（3）的方向余弦． 解：（1）．设点的坐标为，则，故点的坐标为． （2）．（3） 3.数量积、向量积、混合积、向量的投影 数量积: ,是一个数量. 向量积: 表示以为邻边的平行四边形面积. 混合积: 向量的投影: . 两向量之间的夹角: . 例2 设，求与均垂直的单位向量． 解： ， 与均垂直的单位向量为． 例3 设向量,向量与均垂直，且在向量 解：，，得， 于是． 例4 设与垂直, 与垂直,求与之间的夹角. 解: 由与垂直,有,即, 又由与垂直,有,即.两式联立,可得,从而,所以,即. 4.平面方程 截距式方程： 例5 求过点且平行于向量的平面方程. 解:取平面的法向量,又平面过点,故所求平面方程为,即. 例6 求过直线：且与平面：成角的平面方程． 解：过的平面束方程为即：其法向量，又 ，． 所求平面为：． 5.空间直线方程 对称式：， 参数式： 一般式: 例7 求过点且与直线平行的直线的方程. 解:直线的方向向量为,由于与平行,可取直线的方向向量,又直线过点,故所求直线的方程为. 6.空间曲线的投影 一般方程：消去得在三个坐标面上的投影曲线（注：需联立坐标面方程，如）． 例8 求曲线在面上的投影曲线． 解：消去得投影柱面方程：,故曲线在面上的投影曲线为: . 例9．求上半锥面（）在三个坐标面上的投影区域． 解：投影区域分别为: 面：；面： 面： 7.常见二次曲面方程 球面：如; 椭球面：; 圆柱面：如； 圆锥面：如；抛物面：如 单叶双曲面：（时为旋转面）； 双叶双曲面: （时为旋转面）；双曲抛物面：如 例10 面上的直线绕轴旋转而成的圆锥面的方程是　　　　　　　．　(C) (Ａ) (B) (C) (D). 第二单元：多元函数微分法及应用 多元函数连续、可微与偏导数存在之间的关系 连续 可微 两个偏导数存在 例1函数在点处连续是函数在点处的两个偏导数存在的（ D ）条件。 (A)充分 (B)必要 (C)充要 (D)既不充分也不必要 2．求多元函数的偏导数 多元复合函数求导(链式法则)： (1)求具体函数的偏导数 例2设，求。 解：， 所以 (2)求抽象函数的偏函数 例3 已知函数,其中具有二阶导数，求 解: 例4 已知函数,求 解: 例5 设,其中具有二阶连续偏导数,求. 解: 3．求函数的全微分： 例6 求函数当时的全微分. 解:因为,所以, 例7求函数的全微分. 解:因为,所以. 隐函数求导 例8 已知确定,其中为可微分函数,求. 解:方程两边对求偏导(看成的函数),有,. 同理, 方程两边对求偏导,有,所以. 例9设，其中具有一阶连续偏导数，求。 解:方程组两边对求偏导(看成的函数),有 即 解线性方程组得。 方向导数 (1)可微二元函数在点沿任意方向的方向导数存在，且 例10求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。 解：，曲线在一点的切线方向为，所以曲线的内法线方向为，在曲线方程两边对求导数，得 ， 解得 ， 所以曲线在点处的内法线方向为， 内法线方向的方向余弦为， 故所求方向导数为 (2)可微三元函数在点沿任意方向的方向导数存在，且 例11求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。 解：，从点到点的方向向量为， 方向向量的方向余弦为， 故所求方向导数为 6．梯度：(1); 。 例12求函数在点处的梯度。 解：，所以所求梯度为 (2)函数沿梯度方向的方向导数最大，且最大方向导数为梯度的模。 例13在椭球面上求一点，使函数在该点处沿从点到方向的方向导数最大，并求出该最大方向导数。 解：设为所求点，则， (*) 由于函数在一点处沿梯度方向的方向导数最大，而 ， 因此要求与同向，即存在，使， 由此得，代入(*)式解得，因