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第四章 不 定 积 分 第一节 不定积分的概念和性质 高等数学电子教案 定义1 设函数F(x)与 f (x)都在区间I上有定义, 如果对于 任意的x∈I 都有F ’(x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx 则称F(x)是 f (x)在区间I上的一个原函数. 例如x3是 3x2在整个区间上的函数, -cosx 是 sinx的原函数 一、原函数与不定积分的概念 下面的问题是已知原函数的存在,怎样求? 定理1 若函数 f (x)在区间 I上连续,则它在 I上存在 原函数F(x), 即对于任意的x∈I，都有 F ’(x) = f (x). 例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续, 它们都有原函数。 定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1)F(x)+C 也是f(x)的原函数.(2)f(x)的任意两个原函数之间仅相差一 个常数. 证明: (1)因为[F(x)+C]’=F’(x)=f(x).所以F(x)+C也是f(x)的 原函数 (2)设F(x)和G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数,由于 [G(x)-F(x)]’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 所以 G(x)-F(x)=C, G(x)=F(x)+C 。这表示f(x)如果存在原函数,则所有的原 函数只相差一个常数. 定义2 f (x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定 积分, 记作 ∫称为积分号, f (x)为被积函数, f (x)dx为被积表达式, x为积分变量, C是积分常数 注意:所有的原函数在图象上是相互平移的曲线,在同 一点它们有相互平行的切线.如果要求原函数的曲线通 过某一点,则此曲线对应的原函数是唯一的. 例1 求函数f(x)=3x2的不定积分. 例2: 求 解: 解: 例3 设曲线y = f (x)的切线斜率为2x, 且曲线通过点 (1,2). 求此曲线方程. 解: 代入初值条件，得到 2=1+C，C=2-1=1 f(x)=x2+1 由此可见, 微分和积分是互为逆运算.先算不定积分后 求导, 则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵 消后相差一个常数. 例4 下列各函数是同一函数的原函数吗? 分析: 因为同一函数的原函数之差是一常数,我们有 是同一函数的原函数. 所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致, 但可以变形成相同的原函数,它们只相差一个常数 由于微分和积分是互为逆运算, 所以把第二章中的 基本微分公式逆写, 就得到基本积分表。 二、基本积分表 例5 把被积函数展开成代数和的形式,然后再积分的情况 是常用的方法.而被积函数都是幂函数又是不定积分中用 得最多的. 初学者往往容易出错. 例如 (1)把求导和积分搞混了, (2)、(3)虽然分清求导和积分, 但在系数, 正负号的处理上有错误.对这类积分的计算应 该先写出原函数中x的幂次(为原来的幂次加1)再把现在 的幂次的倒数作为系数. 例如 三、不定积分的性质 性质1 若函数f(x)与g(x)在区间I上的原函数都存在,则 性质2 若函数 f (x)在区间I上的原函数存在, 实数k≠0, 则 推论 若fi(x)(i=1,2,...n)在公共区间I上都有原函数, 且ki 为常数, 则 例6 设p(x)=a0+a1x+...+anxn, 求∫p(x)dx 解: 例7